《流体力学》习题与答案周立强中南大学机电工程学院液压研究所第1章 流体力学的基本概念1-1已知作用在单位质量物体上的体积力分布为：x y z f ax f b f cz⎧=⎪=⎨⎪=⎩，物体的密度2lx ry nz ρπ=++，坐标量度单位为m ；其中，0a =，0.1b N kg =，()0.5c N kg m =⋅；52.0l kg m =，0r =，41.0n kg m =。

试求：如图1-2所示区域的体积力x F 、y F 、Fz 各为多少？题1-2图解：V V V VVF f dV f dxdydz ρρ==⎰⎰⎰⎰00x x VVF f dV dxdydz ρρ∴==⋅=⎰⎰⎰⎰0x F N =yzx342()()34220232220.120121210.10.1323221323240.116.832y VF dx dy b lx ry nz dzx y z dxdydzx yz z xy x z xyzN∴=++=++⎛⎫⎛⎫=+⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 16.8y F N =()()()()342202323222220121116661322324886z VF dx dy cz lx ry nz dzzx y z dxdydz x yz z xy x z z xyzN ∴=++=++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭=⨯+⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰88z F N =答：各体积力为：0x F N =、16.8y F N =、88z F N =1-2作用在物体上的单位质量力分布为：0x y z f ax f b f ===、、，物体的密度为 ()33cx ez kg m ρ=+，如图1-3所示，其中，()10a N kg m =⋅， 15b N kg =，41c kg m =；61e kg m =。

试求：作用在图示区域内的质量总力？解：m m m VVF f dV f dxdydz ρρ==⎰⎰⎰⎰yz3m2m2m题图1-3()()332230232101053410533832234720x x VVF f dV ax cx ez dxdydzdx dy x x z dzx xz xyzNρ==⋅+=+⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰720x F N=m m m VVF f dV f dxdydzρρ==⎰⎰⎰⎰()()33223031511152411153832224630y y VVF f dV b cx ez dxdydzdx dy x z dzx z xyzN ρ∴==⋅+=+⎛⎫=⨯+⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰630y F N =m m m VVF f dV f dxdydz ρρ==⎰⎰⎰⎰()300z z VVF f dV cx ez dxdydzNρ==⋅+=⎰⎰⎰⎰0z F N =m m m VVF f dV f dxdydz ρρ==⎰⎰⎰⎰222227206300956.7m x y z F F F F N=++=++=956.7m F N=答：各质量力为：720x F N =、630y F N =、0z F N = ，总质量力956.7m F N =。

1-4绝对压强为52.75610Pa ⨯，温度21.1C ︒的空气以30.48m s 的速度移动。

求：（1）空气移动的单位质量动能？ （2）空气的单位体积动能？ 解：（1）求空气移动的单位质量动能()()22211130.4822464.5464.5E m E W N m υ==⨯⨯==()2464.5464.5E W kg N m ==（2）求空气的单位体积动能pRT ρ=，()287R J kg K =⋅()532.75610 3.26528727321.1p kg m RT ρ⨯∴==≈⨯+m V ρ=，所以，单位体积质量为ρ()()2232211 3.26530.482215171517E E W m m s ρυ==⨯⨯==31517E W m =答：（1）空气移动的单位质量动能为464.5E W kg =；（2）空气的单位体积动能为31517E W m =1-5如题图1-5所示，两同心内、外圆筒直径为d =1000mm ，D =1002mm ，轴向长度b =1mm ，采用润滑油润滑，润滑油温度为60 C ，密度r =824kg /m 3，µ=4.17⨯10-3Pa ⋅s 。

求当内筒壁以1m /s 速度时，所需要的扭矩M 及轴功率P 各为多少？题图1-5解：因间隙很小，所以，可以认为速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律。

314.1710 1.002124.17du d Paτμδτ-==⨯⨯-⎛⎫⎪⎝⎭=4.171113.1F A F Nτπ==⨯⨯⨯=113.652.125M N m d M F =⨯=⨯=13.1113.1P WF P υ=⨯==∴答：所需扭矩 6.55M N m =，轴功率13.1P W =。

1-6如题图1-6所示，两无限大的平板、间隙为d ，假定液体速度分布呈线性分布。

液体动力粘度m =0.65⨯10-3Pa ，密度r =879.12kg /m 3 。

计算： （1）以m 2/s 为单位的流体运动粘度；（2）以Pa 为单位的上平板所受剪切力及其方向； （3）以Pa 为单位的下平板所受剪切力及其方向。

dDb题图1-6解：因间隙很小，所以，可以认为速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律。

（1）求以m 2/s 为单位的流体运动粘度：v μρ=3720.65107.410879.12v m s --⨯==⨯727.410v m s -=⨯（2）求以Pa 为单位的上平板所受剪切力及其方向：由牛顿内摩擦定律，dudyτμ=，330.30.65100.650.310du dy Pa τμ--∴=⋅=⨯⨯=⨯ 0.65Pa τ=,方向与x 轴方向相反。

（3）求以Pa 为单位的下平板所受剪切力及其方向：根据牛顿第三定律，下平板所受剪切力与上平板受力，大小相等方向相反。

0.65Pa τ=-，方向与x 轴方向相同。

答：略1-7如题图1-7所示，两平板间充满了两种不相混合的液体，其粘度系数分别为液体动力粘度m 1=0.14Pa ⋅s ，m 2=0.24Pa ⋅s ，液体厚度分别为d 1=0.8mm , δ2=1.2mm 。

假定速度分布为直线规律，试求推动底面积A =0.1m 2的上平板，以0.4m /s 速度做匀速运动所需要的力？v =0.3m/sδ=0.3mmy x题图1-7解：根据假定，速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律；且由流体的性质可知：两液体之间的接触面上，速度相等，剪切力相等。

22122121υυυττμμδδ-∴=⇒= 22330.40.240.141.2100.810υυ---⨯=⨯⨯⨯2140.186775m s υ∴=≈ 又du dyτμ= 30.18660.2437.31.210Pa τ-⎛⎫∴=⨯≈ ⎪⨯⎝⎭F A τ=37.30.1 3.73F N =⨯=∴答：所需的力为 3.73F N =。

1-8如题图1-8所示，一块40cm ⨯45cm ⨯1cm 平板，其质量为5kg,沿润滑表面匀速下滑，已知：u =1m /s ，油膜厚度d =1mm 。

求润滑油的动力粘度系数？题图1-8解：因油膜很薄，可以认为速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律。

u =1m/smgNF12 513δ=1mm u =0.4m /sx δ1=0.8mm δ2=1.2mmµ1µ2F A A υτμδ==310.40.45180110F μμ-=⨯⨯=⨯ 又因为物体做匀速运动，所以有1218013mg μ=⋅518059.8113μ=⨯⨯0.105Pa s μ≈⋅答：润滑油的动力粘度系数为0.105Pa s μ≈⋅。

1-9如题图1-9所示，旋转圆锥体，底边直径D =15.2mm ，高h =20cm ，油膜充满锥体和容器的隙缝，缝隙δ=0.127mm ，油的动力粘度系数μ=1.84⨯10-3Pa 。

求圆锥相对容器以等 题图1-9 角速度120r /min 旋转时所需要的力矩。

解：因油膜很薄，可以认为速度梯度成直线，符合牛顿内摩擦定律。

1202460r r r πυωπ⨯==⨯= 4d r dy υυπδδ== 24r A M F r Ar πμτδ=⋅==()24dA r dM dA r πμτδ⋅⋅∴=⋅=1）对于圆锥的锥表面tan r h θ=⨯，其中，15.22tan 0.382220DD h h θ====⨯ 2cos dhdA r πθ=⋅,其中，δδDh2222cos 0.9347835815.22022D h θ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan cos dhdA h πθθ∴=⋅⋅223342tan cos 8tan cos dhdM h r h dh πμπθδθπθμδθ∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯ 求扭矩()23302343438tan cos 2tan cos 0.38155426.84 1.84100.20.934783580.02686hM h dhh N mπθμδθπθμδθ-=⨯⋅⋅=⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⎰2）对于圆锥的底面24M F r Ar r A πτμδ=⋅==又2dA rdr π=323428dM r dr r drππμδπμδ∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯232024820.00954116D M r drDNm πμδπμδ=⨯⨯⨯=⨯=⎰20.026860.009541 3.6410M -=+=⨯答：所需要的扭矩为23.6410M -=⨯。

1-10以下方程规定了四个矢量：123423223325=-+=+-=-+-=++r i j k r i j k r i j k r i j k确定下式的标量a 、b 和c 。

其中，4a b c =++123r r r r 。

解：4a b c =++123r r r r()()()()()()442322322323a b c a b c a b c a b c =-+++-+-+-=+-+-+++--r i j k i j k i j k r i j k又4325=++r i j k22332235a b c a b c a b c +-=⎧⎪∴-++=⎨⎪--=⎩解之，得213a b c =-==-，， 答：213a b c =-==-，，。

1-11台风的速度场在极坐标中可表示为：r a b u u r rθ=-=，。

试证明：流线的方程为对数螺线，即abr ceθ-=。