当 时，
其他
1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
解：
如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件：
（I） 是x的单调非减函数
（II） 是非负函数，且满足：
（III） 处处连续
（1）
可证明 满足以上三个条件，可知 是一个概率分布函数。
（2）
经过计算可知当 时为分布函数。
解： 为平稳随机过程，所以有：
3.5功率谱密度为 的白噪声作用到 的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz。若在一欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W， 是多少？
又
所以，此时 是各态历经的。
（2）当A为时间函数时：设 则此时
所以，均值为常数。
所以，自相关函数不仅依赖时间间隔 ，还是t的函数。
此时所以 不是平稳随机过程，也就不是各态历经的。
（3）A为随机变量：
证明 是平稳随机过程可参照前面2.4题的证明，此处略。
只求随机过程的自相关函数
又因为：
所以 不是各态历经的。
均方值有界。
所以 是宽平稳的。
可以证明 与时间有关。（证明省略）
所以得出结论： 是宽平稳的，而不是严平稳的。
2.7已知随机过程 ， 为在 内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时， 是各态历经的？
解：（参照2.4题）
（1）当A是常数时：
所以，均值为常数。
所以 是平稳随机过程。
则此时
（3）
上式等价于：
因为在 点， 此函数在此点不连续。
所以该函数不是分布函数。
1.5设随机变量X的概率密度为：
求： 的概率密度。
解：
因为 所以
则：
1.7设随机变量X的数学期望和方差分别为 和 ，求随机变量 的数学期望和方差及X和Y的相关矩。
解：
1.11随机变量X、Y的联合概率密度为：
求：（1）系数A（2）数学期望 （3）方差 和
解：
（1）
所以，均值为常数。
（2）
（3）
或
所以 是平稳随机过程。
2.5证明不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程
是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中 为常数，A、B的数学期望为0，方差 相同。
证明：首先证明 是宽平稳的。
（1）
均值为常数。
（2）
自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。
（3）
第二个判断条件：
其中（1）、（2）、（6）满足条件；而（3）不满足条Байду номын сангаас，所以不是自相关函数。
第三个判断条件：
其中（2）、（6）满足条件；而（1）中 不满足条件，所以不是自相关函数。
第四个判断条件：
其中（2）不满足条件 所以不是自相关函数。
其中（6）满足条件 所以可能是自相关函数。
2.12求随机相位正弦信号 的功率谱密度，式中 为常数， 为在 内均匀分布的随机变量。
解：
自相关函数：
功率谱密度：
2.14由联合平稳过程 定义了一个随机过程
（1） 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使 是平稳过程
解：
①：使数学期望是常数，须满足：
②：使自相关函数与时间t无关，须满足：
（2）将（1）的结果用到 ，求以 的功率谱密度和互谱密度表示的 的功率谱密度
解：
（3）如果 不相关，那么 的功率谱密度是什么？
解：
2.15设两个随机过程 各是平稳的，且联合平稳
式中， 为常数， 为在 内均匀分布的随机变量。它们是否不相关、正交、统计独立？
解：
时，X(t)、Y(t)不相关、正交
时，X(t)、Y(t)相关、非正交
∵
∴X(t)、Y(t)不是相互独立。
2.17在一般情况下，随机过程 是否是（1）宽平稳（2）严平稳
其中， 为常数，A,B为不同分布的随机变量，但方差相同。
随机信号分析
习题参 考答案
北京工业大学电控学院
2008.12.9
第一章 随机信号基础
1.2设连续随机变量X的概率分布函数为：
求：（1）系数A（2）X取值在（0.5，1）内的概率
（3）求X的概率密度函数
解：
（1）因为X为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。
即
有： 解得：
（2）根据分布函数的性质：
（3）因为
解：
只有当随机变量A和B的数学期望为0时，X(t)的数学期望才是常数。
只有当随机变量A和B不相关时，X(t)的自相关函数才与时间t无关。
此时：
第三章 系统对随机信号的响应
3.1RC积分电路的输入电压为：
其中式中 为常数， 、 为在 和 内均匀分布的随机变量，且互相独立。求输出电压 的自相关函数。
解：
（4）相关矩 及相关系数
解：（1）
有二位概率密度性质可知： 所以可得
（2）
同理： 有
（3）因为
可求
同理可得：
（4）
第二章 随机过程
2.1随机过程 ，其中其中 为常数，A、B为互相独立的高斯变量， ， 。求 的数学期望和自相关函数。
解：
因为A、B为互相独立的高斯变量所以 代入上式
2.4判断随机过程 是否平稳？其中 为常数， 、A分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立
2.8设 是互相独立的平稳随机过程，它们的乘积是否平稳？
解：
因为X(t)、Y(t)是平稳随机过程，故此他们的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，故此Z(t)的数学期望是常数，自相关函数仅与时间间隔有关，是平稳随机过程。
2.9求用 自相关函数及功率普密度表示的 的自相关函数及功率谱密度。 为在 内均匀分布的随机变量， 是与 互相独立的随机过程。
所以，均值为常数。
所以 为平稳随机过程。
3.2若系统得输入 为平稳随机过程，求输出 的功率谱密度。
解：系统输出为
第一种解法：
第二种解法：
由傅氏变换表中第一个变换，得：
且
3.3冲激响应为 和 的并联系统。求用 、 和 的自相关函数表示的 、 的互相关函数。
解：根据图示系统得：
因此，
所以
3.4平稳随机过程 作用到脉冲响应为 和 的串联系统。求用 、 和 的自相关函数表示的 、 的互相关函数。
解：
方法一：
方法二：
2.11对于两个零均值联合平稳的随机过程 ，已知 ，说明下列函数是否可能为他们的相关函数，并说明原因。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：
第一个判断条件：实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数。即
其中（1）、（2）、（3）、（6）是偶函数
（4）、（5）不是偶函数，所以不是自相关函数。