线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题：1． 设TT T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα则T )1,0,1(21-=-αα T)2,1,0(23321=-+ααα2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α=3． 已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2三．计算题：1． 设向量()Tk 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，Tk k ),,(21=β，试问当k 为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示(向量组的秩ppt)2112331211131*********100(3)1113110r r c c c r r k k k k k k kk k k k k k-++-++++=++==++++2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，Ta ),,,(84214+=αT b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示（2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。

314132124211111111112011210112123243012133518502252111111021001121011210010001020001000010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++- ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ++- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎪⎪(1) a= -1,b ≠0.12341234(,,,)2;(,,,,)3R R ααααααααβ==(2) a ≠-112341234(,,,)(,,,,)4R R ααααααααβ==2310100r r a +⎪+ ⎭ ⎝11a +线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,,（C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 过渡矩阵满秩2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示112211112121(0)1m m m m m m m m m m mmk k k k k k k k k k k k βαααααβααα----=++++≠=-----3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ] （A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r =二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 32．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 23． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式132131412323134235232152111221122600104111220121454390121101112211022012140101400104001040000600006r r r r r r r r r r r r r r r r d d d d ↔---+↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ------ ⎪ −−−→−−−→ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭12100120101400104006r r d +⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪⎪-⎝⎭（1）123,.ααα线性无关组：（2）1236244d βααα==-+时，2．已知3阶矩阵A 有3维向量x 满足x A Ax x A 233-=，且向量组x A Ax x 2,,线性无关。

（1）记),,(x A Ax x P 2=，求3阶矩阵B ，使PB AP =； （2）求 | A |232322321(,,)(,,)3000(,,)(,,)103011000103.0110AP PB Ax A x A x x Ax A x B A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x B A PBP B -===-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭===由可得，又由可得，从而线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第四节 向 量 空 间 综 合 练 习一．选择题：1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）32132212,,ααααααα-+++（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = -1122212123,30413423=11a a A a a a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒⇒+⇒=-两个向量线性相关各分量成比例 2．从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫⎪--⎝⎭12121212(,)(,)(,,,)111110231023011201120112A A ββααααββ=→⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即求，使得：作法：行最简形三．计算题：1．设TT T )8,6,0,2(,)1,1,3,3(,)1,1,1,1(321-=--==ααα，试用施密特正交化方法将向量组321,,a a a 标准正交化。

参考课本P107页例2．已知3R 的两个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013a 及 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4322b ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3433b求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。

2321312321231111231111231111231002340111110100101111143020020011111211112310023401001001001000110100r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔-⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪+--+- ⎪ ⎪--⎝⎭3100234010010110100111r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则234010101 P⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭。