AA
1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 (4, 2 ,3) 定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐 3
标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x 4cos(2 3) 2 、 y 4sin(2 3) 2 3 、 z 3
故该点的直角坐标为 (2, 2 3, 3) 。
（2）在球坐标系中 r 42 32 5 、 tan1(4 3) 53.1 、 2 3 120
则
RPP rP rP ex 5 ey 3 ez
且 RPP 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
x
cos1( ex RPP RPP
)
cos 1 (
5 ) 32.31 35
y
cos1(ey RPP ) cos1( RPP
3 ) 120.47 35
z
cos1( ez RPP RPP
)
cos 1 (
1 ) 99.73 35
1.4 给定两矢量 A ex 2 ey 3 ez 4 和 B ex 4 ey 5 ez 6 ，求它们之间的夹角和
A 在 B 上的分量。
解 A 与 B 之间的夹角为
AB
cos 1 (
A A
B B
)
cos 1 (
31 ) 131 29 77
A 在 B 上的分量为
2
解
r d S r er d S d aa2 sin d 4 a3
S
S
0
0
又在球坐标系中，
r
1 r2
r
(r2r)
3 ，所以
2 a
r d 3r2 sin d r d d 4 a3
0 00
1.15 求矢量 A exx ey x2 ez y2z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线
Az z)
ex Ax
ey Ay
ez Az
A
一径向矢量场 F er f (r) 表示，如果 F 0 ，那么函数 f (r) 会有什么特点
解 在圆柱坐标系中，由 可得到
F 1 d [rf (r)] 0 r dr
在球坐标系中，由
f (r) C r
C 为任意常数。
F
1 r2
d dr
[r2
f
,.
第一章习题解答
1.1 三个矢量 A 、 B 和 C 如下：
A ex ey 2 ez 3 B ey 4 ez C ex5 ez 2 求：（1） aA ；（2） A B ；（3） A B ；（4）AB ；（5） A 在 B 上的分量；（6） AC ； （7） A (B C) 和 ( A B) C ；（8） (A B)C 和 A (B C) 。
sin1 sin2 cos(1 2 ) cos1 cos2
1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： (er 3sin ) d S 的值。 S
,.
2
解 (er 3sin ) d S (er 3sin ) er d S d 3sin 52 sin d 75 2
S
S
0
故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 )
1.9
用球坐标表示的场
E
er
25 r2
，
（1）求在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处的 E 和 Ex ；
（2）求在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处 E 与矢量 B ex 2 ey 2 ez 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处， r2 (3)2 42 (5)2 50 ，故
故
BC
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢
,.
量。设 A 为一已知矢量， p A X 而 P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。
解 由 P A X ，有
A P A(A X ) (A X )A (A A)X pA (A A)X
故得
X pA A P
S
S
4 2
5 2
52 5d d z 2 4r d r d 1200
00
00
故有
Ad 1200 A d S
S
1.13 求（1）矢量 A ex x2 ey x2 y2 ez 24x2 y2z3 的散度；（2）求 A 对中心在原
点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
B ) cos1(19 B
(10 32
2)) 153.6
1.10 球坐标中两个点 (r1,1,1) 和 (r2 ,2 ,2 ) 定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为
解由
cos cos1 cos2 sin1 sin2 cos(1 2 ) R1 exr1 sin1 cos1 eyr1 sin1 sin 1 ezr1 cos1
解
（1） aA
A A
ex ey 2 ez 3 12 22 (3)2
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
（2） A B (ex ey 2 ez 3) (ey 4 ez ) ex ey 6 ez 4 53
（3） A B (ex ey 2 ez 3) (ey 4 ez ) －11
（4）由
cosAB
A B 11 11
A B 14 17
238
AB cos1 (
11 ) 135.5 238
（5） A 在 B 上的分量
AB
A
cos AB
A B B
11 17
，得
ex （6） AC 1
5
ey ez 2 3 ex 4 ey13 ez10 0 2
ex ey ez （7）由于 BC 0 4 1 ex 8 ey 5 ez 20
5 0 2
ex A(BC) 1
8
ey ez 2 3 ex 55 ey 44 ez11 5 20
1.2 三角形的三个顶点为 P1(0,1, 2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3(6, 2, 5) 。 （1）判断 P1P2P3 是否为一直角三角形；
,.
（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点 P1(0,1, 2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3(6, 2, 5) 的位置矢量分别为
0
1.12 在由 r 5 、 z 0 和 z 4 围成的圆柱形区域，对矢量 A err2 ez 2z 验证散
度定理。
解 所以
在圆柱坐标系中
A 1 (rr2 ) (2z) 3r 2
r r
z
4 2 5
Ad d z d (3r 2)r d r 1200
0
0
0
又
A dS (err2 ez 2z) (er d Sr e d S ez d Sz )
R2 exr2 sin2 cos2 eyr2 sin2 sin 2 ezr2 cos2
得到
cos R1 R2 R1 R2
sin1 cos1 sin2 cos2 sin1 sin1 sin2 sin2 cos1 cos2
sin1 sin2 (cos1 cos2 1 sin1 sin2 ) cos1 cos2
所以
A d S (ex 2yz ez 2x) ez d x d y 8
S
00
故有
A dl 8 A dS
C
S
1.16 求矢量 A ex x ey xy2 沿圆周 x2 y2 a2 的线积分，再计算 A 对此圆面
积的积分。
解
A d l x d x xy2 d y 2 (a2 cos sin a4 cos2 sin2 ) d a4
AB A
B B
31 3.532 77
1.5 给 定 两 矢 量 A ex 2 ey 3 ez 4 和 B ex 6 ey 4 ez ， 求 A B 在 C ex ey ez 上的分量。
ex ey ez 解 A B 2 3 4 ex13 ey 22 ez10
6 4 1
所以 A B 在 C 上的分量为
r1 ey ez 2 ， r2 ex 4 ey ez 3 ， r3 ex 6 ey 2 ez 5
则
R12 r2 r1 ex 4 ez ，
R23 r3 r2 ex 2 ey ez 8 ，
R31 r1 r3 ex 6 ey ez 7
由此可见
R12 R23 (ex 4 ez ) (ex 2 ey ez 8) 0
25 1
E
er r2
2
Ex
ex
E
E
cosrx
1 3 2 52
3 2 20
（2）在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处， r ex 3 ey 4 ez 5 ，所以
E 25 25r ex 3 ey 4 ez 5
r2 r3
10 2
故 E 与 B 构成的夹角为
EB
cos1( E E
(r)]
0
,.
可得到
f
(r)
C r2
1.19 给定矢量函数 E ex y ey x ，试求从点 P1(2,1, 1) 到点 P2 (8, 2, 1) 的线积分
E d l ：（1）沿抛物线 x y2 ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？
解 （1） E d l Ex d x Ey d y y d x x d y
故 P1P2P3 为一直角三角形。
（2）三角形的面积
1
1
1
S 2
R12 R23
2
R12
R23
2
17
69 17.13
1.3 求 P(3,1, 4) 点到 P(2, 2,3) 点的距离矢量 R 及 R 的方向。