初等函数的基本不等式安徽省潜山二中一. 初等函数的基本不等式1. 三角、反三角型不等式 (1) 335111sin min{,},0;66120x x x x x x x x -≤≤-+≥ (2) 222sin (0);241(1)x x x x x πππ≥≥≤≤+-22sin (0);111163x x x x x x x π≤≤≤≤≤++ (3) 2241111cos 1;2224x x x x -≤≤-+ (4) 22111-cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5)23223arctan ,32113xx xx x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥2arctan ,01;41(1)xx x xπ≤≤≤+-.0,41arctan 22≥+≤x x x x π（5）的证明: .0,1arctan 32≥+≤x xxx设=)(x f ,0,1arctan 32≥+-x x xx 0.132>+=x m则 22-3223'24222321(1)113()(1)(2)/0,13(1)x x x f x m m m x x +-+=-=--+≤++,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略)2. 对数型不等式 (1) 235111ln (1)(1),0;1221511(1)26x x x x x x x x x x x x x -≤≤+≤≤≤+-≤≥++++ (2)2111(1)ln (1),0;1212112x x x x x x x x x x x +-≤≤+≤≤-≤<+++(3) 对数平均不等式113312()()().2ln ln 63x y x y xy x y xy x y +-<<++-(4).2ln 1ln ln }ln 1),max{ln(yx y x y y x x xy y x ++≤--≤++或写成.2)(1},max{1yx y x e xy e y x y x y x +≤≤+-(4)中的)ln(ln ln y x yx yy x x +≥-- 的证明：不等式即,)(1y yx yx y x x y x y x y x y x yy x xy x y x ⋅-+⋅-≥⇔+≥---由赫尔德不等式（或加权算数 -几何平均不等式，...)得证. 显然利用它得到,012)1ln()1(ln ≥----x x x x x 由此可见函数)1ln()(ln )(x x x f -⋅=在]21,0(上单调增，在)1,21(上单调减.后一结果，一般称为指数平均不等式. 3. 指数数型不等式(1) 21...(1,0;0,);2!!mxx x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(!...!212为偶数m x m x x x e mx≤++++≤ (3) 2(1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+-≥=取等号 (3)可推广为12[(1)()], 1.xt e e e x t x t x t -≥-++-≥- 4. 幂不等式贝努利不等式(1) ;01,1,1)1(≤≥->+≥+αααα或x x x(2) ;10,1,1)1(<<->+≤+αααx x x 赫尔德不等式（3）1(1), ,0,01;x y x y x y ααααα-≤+->≤≤(4) .01,)1(1<≥-+≥-ααααααor y x y x 事实上1()(1), x y x y αααα-≤≥+-也就是()()1(1),x xy yαα≤≥+- 可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的.二．应用举例例1 (1) 2arctan (sin )(0);1212x x x x π≥≤≤+ (2) ).0(1sin arctan 2≥+≤x xxx证明：(1)先证);2(0sin arctan 2112π≤≤≤+x x x x 设2()arctansin ,0.1212x f x x x x π=-≤≤+ 则求导得到2'22211cos 2(),11sin (1)2x x f x x x -=-++利用21cos max{0,1},0sin ,2x x x x ≥-≤≤得到 .0)(f ,)211(1sin 1'2222≥+≤+≤+x x x x 于是,0)0()(=≥f x f不等式)2(0sin arctan 2112π≤≤≤+x x x x 得证;(2) 再来证明右边：).0(1sin arctan 2≥+≤x xx x事实上只需考虑20π<≤x 时成立21sin arctan xx x +≤即可.设2()arctan sin ,0,21x g x x x xπ=-≤<+则'3222cos 1(),1sin (1)xg x xx =-++0)('≤x g 即,)1(1)sin 1(cos 32222x x x +≤+也就是.)1(1)tan 21(tan 132222x x x +≤++ 令.1t 1s ,0tan 32≥+=≥=x t要证明22232(12)(arctan )1,1t t t +≤-+利用1(5)中的反正切不等式,1arctan 32tt t +≤ 这样只需证明,)12(1,)1()1()21(23233332232222s s s s t t t t --≤-+-++≤移项, 立方整理为0,)1-3-3-663()1-(234563≥+++s s s s s s s 因,1≥s 此不等式成立. 于是'()0,g()g(0)0,g x x ≤≤=不等式)0(1sin arctan 2≥+≤x xx x 成立！特别地，在此不等式中令20,tan πθθ<≤=x 得到：).sin (tan )tan (sin θθ≤例2 .40,1)tan (arcsin 2π≤≤+≥x x x x证明：构造函数2()arcsin tan 1,0,4f x x x x x π=-+≤<求导得22'22sec 12()0,1tan 1x x f x xx+=-≥-+设),1,0[tan ∈=x t就是2222112(arctan ),11(arctan )t t tt ++≥-+利用)5(1中的不等式,arctan t t ≤知),0,121)((121)arctan (1)arctan (21222222单调增≥++=++≤++t tt t g tt t t于是只需2222112,11t t t t ++≥-+平方整理为,03546≥+t t于是'()0, ()(0)0,f x f x f ≥≥=不等式40,tan arcsin 12π≤≤≤+x x x x 成立.例3.sin 22(1)cos ,0.2x x x x πππ-≥-≤≤ 证明 设],1,0[2tan ∈=xt 则利用万能代换22221sin ,cos ,11t t x x t t -==++不等式转化为,11)21(2arctan 2)1(2222t t t t t +-⋅-≥-⋅+ππ整理为2arctan ,41(1)t t t π≤+-这正是不等式).5(1 例4 证明斯特林不等式.)(!n en n > 证明：不等式即1()ln ln 0,ni f n i n n n ==-+>∑利用不等式)1(2：ln (1),x x +≤取nx 1=得到 ,1)11ln(n n <+即,1)11(ln <+nn 这样1(1()1ln (1)0,f n f n n n +-=-+>）于是.01)1(...)1-()(>=>>>f n f n f例5. 已知,0,>y x 求证22222y x y x yx y x y x yy x x +≥≥++++. (这是二元反调和平均不等式)证明：先证明右边.考虑到不等式的齐次对称性不妨设,1y x =≥不等式转化为,2121+≥+x x x x 即211()ln ln ()0, 1.122x x f x x x x +=-≥≥+ 而2'222ln 11()0ln , 1.(1)111x x x f x x x x x x x -=+-≥⇔≥≥++++由不等式2(1)有2ln (1), 0,212x xx x xx+≥=≥++ 于是22222112(1)1ln ln , 1.222(1)1x x x x x x x --=≥⋅=≥+-+这样.0)1()(,0)('=≥≥f x f x f 再证右边：,22y x yy x x y x yx y x ++≥++只需211, 11xx x x x x ++≥≥+成立即可. 即证明.1,0)1(1ln 1ln 11ln ln 1)(22≥≤++-+-=++-+=x x x x x x x x x x x x g利用2中不等式有2ln (1), 0; ln (1), 0.2112t t t t t t t t t t+≥=≥+≥≤+++于是得到 22221-12(1)2(1)11(1)ln , 1; ln .2(1)1(1)1(1)(1)(1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+-+≥=≥≥=+-++++++）这样212(1)1(),11(1)(1)x x g x x x x x x --≤-⋅-++++只需212(1)10,11(1)(1)x xx x x x x ---⋅-≤++++即,)1()1)(1(222+≥++x x x x 也就是2324(1)(1),(31)(1)0,x x x x x +≥++-≥显然成立.右边的另一证明：由赫尔德不等式知22.xy x yx yx y x y x yx y x y x y x y+++≤⋅+⋅=+++ (甚至成立不等式t t t t tt yx y yx xy x y x y x yxt y x +++-+++≥++≥<≤>111111)2()(,10,0,) 例6. 已知对任意1,≥x 成立不等式,32dx cx bx a e x+++≥其中,,,0.a b c d > 试求abcd 的可能取到的最大值(由江苏高考题改编而成).解: 考虑到23, 1.xe a bx cx dx x ≥+++≥由均值不等式23644,x e a bx cx dx abcdx ≥+++≥于是得到4464(), 1.xe abcdf x x x≤=≥ 利用不等式3(1)得到x e x +≥1, 有26616636662(11)()233()(e),32x e x e e f x x x x -+-⋅=≥==取等)(也可求导得到此结果. 这样,)3(416e abcd ≤取等条件是.)3(41,23,632e abcd x dx cx bx a =====求得32248,,,.43927e a a a a b c d ==== 对于上面给出的d c b a ,,,的值, 下面证明不等式23, 1.xe a bx cx dx x ≥+++≥成立,即.])32()32()32(1[43223x x x e e x+++≥,32x t =设不等式化为.32t ),t t)(1(114232)1-(23≥++=+++≥t t t e t 利用不等式3(1)得到：.,6121132R x x x x e x∈+++≥ 这样有 1(1)232111111(1)[(1)][(1)],22262t et t t -≥+-+⋅-+-而11,3t -≥-可见12(1)2221111(1)1(1)(1)(1),2848329t t t e t t t -+-≥+-+---≥+⋅这样3223(1)3322221(1)11(1)(1)144[]4[()3()](1)(1),2922923t t t t t t t et t-+-++-+≥+≥+⋅⋅=++- 这样只需证明),1)(1(3)1()1(2)1(2223++≥-+++t t t t t 即2(1)(21)(1)0,t t t +--≥ 此乃显然. 因此题中所求的.)3(41)(6max e abcd =例7. 已知,21,0≤≤>≥αy x 求证1()().x y x y x y ααα--≥-+证明: 记,1≥=x yt 则要证1()(1)(1)10.f t t t t αα-=-+-+≤ 111()(1)(1)1f t t t t t ααα--=-+-+，由贝努利不等式知,11)11(1tt -+≤+-αα于是11211()(1)(1)11[(2)(1)()],f t t t t t t tααααααα----≤-+-+=--+- 由赫尔德不等式12(1)(2)(2)(1)11(2)(1)()t ()1,t t tαααααααα-------+-≥=于是得到 ,0)(≤t f 不等式得证！完全类似地，可以证明1()()(0,2);x y x y x y x y αααα--≤-+≥>≥甚至更一般的结果()()(0,1,1).x y x y x y x y ααββαββαβ--≤-+≥>≥-≥巩固题: 已知,0,,≥c b a 且对任意,0≥x 成立.2cx bx a e x++≥ 试求a b c ++的最大值, 及此时的c b a ,,的所有可能值.。