第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
1．若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .
4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.
A．30 cm2
B．130 cm2
C．120 cm2
D．60 cm2
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，
要从树底开始爬多高？
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
参考答案：
1．（1）13；（2）8；（3）6，8．
C F
2．2.5m．
60cm．
3．
13
4．D．
5．25km．
6．4．
7．3 cm．
1.1 探索勾股定理
第2课时验证勾股定理
1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
参考答案
1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,
S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×
2
1
×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，
AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2
（2）如图（图见题干中图）
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2
1
×4×7=121－56=65=42+72
2.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是
以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.
②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
1.2 一定是直角三角形吗
1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对
2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为
3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2
2
2
2
+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：
BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2
2
2
2+=。
D C O A B D A
B C
A
B D C
6. 已知：AB AC CD BC ==，，求证：AD AB BC 2
2
2
2=+。
7 已知：∆ABC 中，
AD 为BC 中线，求证：AB AC BD AD 2
2
2
2
2+=+()。
8.如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2
+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。
9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。
9.ABC 中，AB=AC =10，BC =16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A 。
求：BD 的长。
ABC 中，AB=AC ，可作AE ⊥BC 于E ，构造直角三角形，由已知条件，AE ，CE ，可求。
根据勾
股定理可列方程式求解。
A
B D C
1.3 勾股定理的应用
1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）．
A . 2m
B．3m
C．6m
D．9m
2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角∠A ＝30°，∠B＝90°，BC＝ 6 m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2＝AE2＋BC2．
3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
4．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱
的半径为6
cm，那么最短路径AB长( )．
A．8
B．6
C．平方后为208的数
D．10
5．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cm
B．32cm
C．40 cm
D．45
6．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？
A． 100
B． 180
C． 220
D． 260
7. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建
成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形
．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
8．飞机在空中水平飞行
．．．．，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m，则飞机速度是多少？
参考答案1.C
14
2.
3
3. 15
4.D
5.C
6.C
7. 周长=8+8+
8.150 m/s.。