(ａ)当 > 时，试证明，图P9.１(ａ)相当于一个理想带通滤波器,并确定其通带宽度。
(b）当 < 时,试证明，图P9．1（b）相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。
(ｃ)如果按图P９.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何?
（a)
（b）
解:（a） 是低通,截止频率为 ； 是高通，截止频率为
的傅立叶变换为
又 为实序列,则:
故系统函数为：
单位冲激响应为: ，它具有零相位特性。
（ｂ）由图P9.5(b)可知：
又 为实序列，则 ：
这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为:
单位冲激响应为： 。
9．６ 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而,当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法,这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设 是一个复合信号， 。我们希望设计一个ＬTＩ滤波器,从 中分离出 ,如图P9.6（ａ）所示。也就是说,滤波器的频率响应 应使 是对 较好的近似。假定用 作为 与 之间误差的度量,定义为
(a)按以下三步进行,如图P9.5（ａ)所示。
(b）按以下三步进行,如图Ｐ９.5(ｂ)所示。
分别对以上两种方法求出从输入 到输出 的整个系统的系统函数，单位脉冲响应,并证明该系统具有零相位特性。
（1) (１)
(２) (2）
(3) (3)
(a) （b）
图P９.5
解:(a)由图P9.5(a）可知：
又 的傅立叶变换为
(b)如果 是一个截止频率为 的理想高通滤波器,证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。
（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.２联接，所组成的系统是理想的离散时间高通(或低通）滤波器吗?
图Ｐ９.2
解:（ａ) 是低通滤波器，截止频率为
整个系统的频率响应为：
故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：
(b） 证明:如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即 ,则其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
解：(a)设 为连续时间LTＩ滤波器的阶跃响应,则有：
因此,当 时,有 ,这表明 是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
(b）设 为离散时间ＬＴI滤波器的阶跃响应，则有：
因此,当 时,有 ，这表明 是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
由以上讨论可见, 在 与 不重叠时，具有理想滤波器特性。
（ｄ）根据图p9.6（b)和（b)的结果可得：
9．7 题９．6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号,选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9．６（ｂ）中所得结果相对应的结果。
分别用 ， ， ， 和 代替题9．6中的 , ， , 和 有:
其波形如图所示。
(b) 是高通滤波器，截止频率为
整个系统的频率响应为:
故整个系统相当于一个理想低通滤波器,其截止频率为 。
（c）是。
9.３某模拟低通滤波器的幅频特性如图Ｐ9.３所示。试对下列每种相位特性,求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。
(a）∢ =0
(ｂ）∢ =ΩT,其中T为常数
（c)∢ =
解： ,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。
9．5 在许多滤波问题中,人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器,实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列 是有限长的， 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且 为实序列,则可以通过以下两种方法实现对 的零相位过滤。
其中 和 分别是 和 的傅立叶变换。
（a）用 , 和 表示 。其中 。
（b）限定 为实函数,因此 。通过使 对 的导数为零，确定使误差 为最小的 。
（c）证明：如果 和 不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。
（d） 如果 与 如图P9.６(b）所示,根据（b)的结果，确定并概略画出 。
（a)
解:(a）若∢ =0,则有：
波形如图所示：
(b）若∢ =ΩT，则有：
(ｃ）如∢ = ,则
可视为如下的卷积：
9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为 ，频率响应如图Ｐ9.４所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为 ,且
试确定并粗略画出新滤波器的频率特性 。指出它属于哪一种滤波器（低通,高通,带通,带阻）。
(b)
图P9.６
(a) 由图p９.６(a）可得：
故有:率 处有 ，则此时 ，从而有 。对此频率来说， 可以取任意值。
(c） 如果 和 不重叠,则 。
设 在区域 为非零， 在区域 非零，则:
当 时， ;
当 时, 。
在此情况下, 具有如下特性:
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 可为任意值,当然可以规定为 。
,
当 ＞ 时，
故级联后的滤波器为理想带通滤波器,其通带宽度为: 。
（b)当 < 时，
,
故级联后的滤波器为带阻滤波器,阻带宽度为:
（ｃ）数字滤波器结果与上类似。
９.2图Ｐ9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器,反之亦然。
（a) 证明当 是截止频率为 的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。
假定 为实函数，相应有：
令 ，得:
同样, 如果在某一个频率 处有 ,则此时 ,从而有 。对此频率来说， 可以取任意值。
9．8 在许多滤波器应用中,往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时,可以消除过冲现象。
（a)证明：如果连续时间滤波器的 始终大于或等于零,即 ，则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
信号与线性系统题解第九章
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第九章习题答案
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９.１如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中 是低通,截止频率为 ; 是高通,截止频率为 :