8、二次根式的化简求值
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．有理式(rational expression)和无理式(irrational expression)统称代数式，整式和分式统称有理式．
有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形．
【例l 】 已知
,21=+
x
x 那么
1
91
32
2
++++x x x x x x 的值等亍
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)
思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+x
1的代数式表示．
【例2】满足等式2003200320032003=+
-
-
+
xy y x y x y x 的正整数对(x ，y)的个数是
( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(全国初中数学联赛题) 思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．
【例3】 已知a 、b 是实数，且,1)1)(1(22=++-+b b Fa a 问a ，b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人手，而化简的基本方法是有理化．
【例4】 有这样一道题，计算
2
2
2
22
4
44
4x x x x x x x x x -++
--+
--
-+的值，其中x=1005，某同学把
“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的．请回答这是怎么回事?试说明理由． (2005年辽宁省中考题)
思路点拨解题的关键是正确化简待求式．
【例5】(1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角 形的三边长分别为
,)()(,,2
2
2
2
2
2
c d a b d b c a -+-++求此三角形的面积；
(第12届“五羊杯”竞赛题)
(2)已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求142
2
++
+=
b a u 的最小值．
(北京市竞赛题)
思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．
1．已知a<0，化简=-
++
-2
2
)
1(4)
1(4a
a a a
(2004年宁波市中考题)
2．若),10(41<<=+
a a
a 则
=-
a
a 1
3．．当2
15,2
15-=
+=
b a 时，代数式
2
22
22b a b
ab a -+-的值是
(2005年河南省竞赛题)
4．已知a 是4一捂的小数部分，那么代数式)4).(24
42(
2
2
2
a
a a
a a a a a a -
++
++-+的值为
5．若x ，y 为有理数，且,42112=+-+
-y x x 则xy 的值为( )．
0.A 2
1.
B 2.
C
D ．不能确定
(2004年广西竞赛题)
6．已知实数a 满足,2001|2000|a a a =-+-那么a-20002的值是( )．
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．2002 7．设10002,9991001,9971003=+
=
+
=
c b a 则a 、b 、C 之间的大小关系是( )．
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．c<a<b
D ．a<c<b 8．若
,1a a
x -=
则2
4x x u +=
的值为( )．
a
a A 1.- a a
B -1. a a
C 1.+
D ．不能确定
9．有一道题：“先化简，再求值：,4
1)4
42
2(
2
2
-÷
-+
+-x x x x x 其中.3-=x ”小玲做题时把“3-=x ”
错抄成了“,3=
x ”但她的计算结果是正确的，请你解释这是怎么回事．
(2005年南通市中考题)
10. 已知
x x x x x x ++
+-+
=--
4
14
1,)
1(12
2
2
化简
11.=--
-+
++
=2
14
12
1,312
x x x x 那么
已知
12．已知=-=-++a 26,514则a a
13．代数式
9)12(42
2
+-+
+x x 的最小值为
(“希望杯”邀请赛试题)
14．已知(x
2002)2002()200222
=++
+y y x 则+----y x y xy x 66432
2=58
(第17届江苏省竞赛题)
15．如果,||,22002,220023
333c b c b b a b a -=+-=
-+=
+那么3
33c b a -的值为( )．
20022002
.A 2001.B 1.C 0.D
(武汉市选拔赛试题)
16．化简
2
40
663
1
230
5941--+
+ 的结果是( )．
A ．无理数
B ．真分数
C ．奇数
D ．偶数
(2005年全国初中数学联赛题)
17．a 、b 为有理数，且满足等式,3241.63+=
+b a 则a+b 的值为( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2006年全国初中数学联赛题)
18．设)
1(1
,1
11,1
11,4++
=
+-
=
+-
=
≥r r r c r r b r r a r 则下列各式中，一定成立的是( )．
c b a A >>. a c b B >>. b a c C >>. a b c D >>.
(2005年全国初中数学联赛试题)
19．已知,1
313,1
313-+=
+-=
y x 求4
4
y x +的值．
(2004年天津市竞赛题)
20．已知20052
+a 是整数，求所有满足条件的正整数a
的和．
(2005年“CASl0杯”武汉市竞赛题)
21．已知),0(12
>+=a a a
x 化简：
⋅-+
+--+2
222x x x x
22．已知,713572
x x x =+-+求x 的值．
(2005年全国初中数学竞赛题)
答案：。