分式的基本概念、约分、通分 1、分式的定义：分母中含有字母．这样的代数式叫分式．
【概念巩固】
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ （1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）9
1-x 是分式的有 ； 2.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.
（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千 米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x 与y 的差于4的商是 .
2、对于B A 分式
而言 （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0；
（7）当 时，分式的值小于0； 典型例题
例1 、 对于分式
5
312-+x x ， （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0；
（7）当 时，分式的值小于0；
【针对性练习】
1、当x 取何值时，分式 2312-+x x （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0；
（7）当 时，分式的值小于0；
2、 当x 为何值时，分式
x
x x --21|| 的值为0？ 3、当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2
522+-x x 【基础知识点】
3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。

4、分式的约分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
(2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
5、分式的通分
把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

※思考：分数通分的方法及步骤是什么？
答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。

6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

※找最简公分母的步骤：
（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；
（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

※回顾分解因式找公因式的步骤：
（1） 找系数：找各项系数的最大公约数；
（2） 找字母：找相同字母的最低次幂； 典型例题
例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式
=-+
b a b a 413
2312
1)1(
=-+y x y
x 6.02125.054)2( 针对性练习
把下列各式约分：
()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a (3) d
b a
c b a 32232432- (4) )
(25)(152
b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2242x x x ---； 小结：
1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同
因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式
同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的
最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．
4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．
注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规
则如下：()()()
()⎩⎨⎧--=--=---121222n n n
n a b b a a b b a （其中n 为自然数）。

2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约
去（约分只能约分子分母中相同的因式）。

典型例题
例1 、 求分式
4322361,41,21xy y x z y x 的公分母。

例2 求分式2
241x x -与412-x 的最简公分母。

例3 通分：
（1）
xy
y x x y 41,3,22； （2）22225,103,54ac b b a c c b a -。

例4 通分：（1）
4
2,361,)42(222---x x x x x x ， （2）232,1122+--x x x x ； 针对性练习
1、通分：
y
x y y x +-2
2;)1( 1;1)2(23----x x x x （3）21,42b a ac
（4）221,939a a a --- （5）)
)((1,))((1,))((1b a c a a c c b c b b a ------ ※小结
1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质；
2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；
3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。

二、巩固练习：
1．约分：（1）3262a b ab - （2）222
2a ab a ab b +++ 2、填空：
（1）z y x z y x 43231221=； （2）z y x y x 43321241=； （3）z
y x xy 4341261=。

3．求下列各组分式的最简公分母：
（1）
22265,41,32bc c a ab ； （2）c m n m mn 32291,61,21；（3）)
)((1,1b a a b b a +--；
（4）2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （5）11,1,2222-++x x x x x
4．通分：
（1）
z x y z x y 43,3,2； （2）c b a ab c a b 23326,43-； （3）232465,32,81xz
z y x y x -。

（4）)2(,)2(++x b x x a y ； （5）y x x y x 221,)(1--； （6）2)2(34,)2(25x x --；
课后练习
1、下列各式是不是分式？为什么？
π
m y x x x 2)3(;8)2(;)1(2+ 2、在下列各式中，当x 取什么数时，下列分式有意义？
2||).3....(9
1).2....(3).1(2--+-x x x x x x 3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？
)5)(3(5||).2....(321).
1(2-+-+-x x x x x 4、下列分式变形中正确的是（ ）
A 、ab a b a 2=
B 、1121
122-++=-+a ab a a a C 、2b ab b a = D 、211a ab a b +=+ 5、把下列各式约分 996).1.(22-++a a a 323627).2(b a b a n n + .)(24)(6).3(32
y
a x x a x ---- 6、通分：
（1）
3241,34,21x x x x x +--； （2）222254,43,32b a ab a -； （3）)(,)(x y b y y x a x --；
（4）
)2)(2(,)2(12-+-x x x x （5）21,22---x x x x ； （6）263,14222---x x x x x ；
（7）
222231,)(1y xy x y x +--； （8）2293,125a a a a a --+。

（9）
21,2,23122423-+--+-a a a a a a a ；（10）203,125,1584222----+-+-+x x x x x x x x x ；
（11） ))((,))((a b c b c b c b b a b a --+--+ ； （12）))((1,))((1,))((1b c a c a b c b c a b a ------；。