2020-2021 高三数学上期中试卷带答案(18)
一、选择题
1．已知关于 x
的不等式 x2
4ax 3a2
0a
0 的解集为 x1, x2 ，则 x1
x2
a x1x2
的
最大值是（ ）
A． 6 3
B． 2 3 3
C． 4 3 3
D． 4 3 3
2．已知数列{an} 满足 a1 1， an1 an 2n ，则 a10 （ ）
（1）求函数 y f x 的单调递增区间；
（2）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, f A 2, a 7 ，且 b 2c ，求
ABC 的面积．
26．数列an中， a1 1
，当 n
2
时，其前
n
项和
Sn
满足
Sn2
an
(Sn
1) 2
．
（1）求 Sn 的表达式；
(2)设 bn ＝
A．1024
B．2048
C．1023
D．2047
3．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1
9，
S9 9
S5 5
4 ，则 Sn 取最大值时的 n 为
A．4
B．5
C．6
D．4 或 5
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高
窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层，每上
层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则 log2 a3 a5 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
5．设函数 是定义在
上的单调函数，且对于任意正数 有
，已知
，若一个各项均为正数的数列 满足
∵an＞0，∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n 即 an=n 所以 故选 C
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ，两边同时除以
，得出
，运用累加法，解得
，整理得 an
Sn 2n
1
,求数列
bn
的前
n
项和
Tn
．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
：不等式 x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得： x1x2 3a2 ，x1+x2=4a，
那么： x1
x2
a x1x2
=4a+
1 3a
．
∵a＜0，
AP （1，0) 4(0,1) (1, 4) ，即 P（1，4) ，所以 PB （1 1， 4) ， PC （1，t 4) ，因 t
此 PB PC
1 1 4t 16 17 (1 4t) ，因为 1 4t 2
t
t
t
1 4t 4 ，所以 PB PC 的最大值等于 t
13 ，当 1 4t ，即 t 1 时取等号．
利用数列的知识求解．
5．C
解析：C 【解析】
∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[ an（an+1）]∵函数 f（x）是定义域在（0，+∞）上的单
调函数，数列{an}各项为正数∴Sn= an（an+1）①当 n=1 时，可得 a1=1；当 n≥2 时，Sn-
1= an-1（an-1+1）②，①-②可得 an= an（an+1）- an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
16．如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AB 2 ， BC 3 ， AB AD ，
AC CD ， AD 3AC ，则 AC __________．
17．已知对满足 4x 4y 5 4xy 的任意正实数 x，y，都有 x2 2xy y2 ax ay 1 0 ，则实数 a 的取值范围为______．
＝（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
x y 2 0
8．若
x
，
y
满足
x
y
4
0 ，则
z
y
2
x
的最大值为（
）．
y 0
A． 8
B． 4
C．1
D． 29．已知AB NhomakorabeaAC
，
AB
1， t
AC
t ，若 P 点是
ABC 所在平面内一点，且
AP
AB AB
4 AC AC
，则 PB·PC
的最大值等于（
）.
A．13
直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z 最大， zmax 2 ，
综上， z y 2 x 的最大值为 2 ．
故选 D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ ax by 型）、
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ，解
得 a1 8 ，则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* ， a3 25 , a5 27 ，从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ，故选 C．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后
可得 log3 a1a2 a12 12 ，进而可得 a1a2 a12 a6a7 6 312 ，
a6a7 9 .
【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能 力.
8．D
解析：D 【解析】
x y 2 0
作出不等式组
x
y
4
0
，所表示的平面区域，如图所示，
∴-（4a+ 1 ）≥2 4a 1 = 4 3 ，即 4a+ 1 ≤- 4 3
3a
3a 3
3a 3
故
x1
x2
a x1x2
的最大值为
43 3
．
故选 D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一
正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为
定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为 an1 an 2n ，所以 an1 an 2n ，
因此 a10 a10 a9 a9 a8
【点睛】
t
2
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
10．A
解析：A 【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】
因为 cos2 A b c ，所以 2 2c
1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C,sinAcosC 0 ,因此
y 0
当 x 0 时，可行域为四边形 OBCD 内部，目标函数可化为 z y 2x ，即 y 2x z ，
平移直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z 最大，此时，
zmax 2 ， 当 x 0 时，可行域为三角形 AOD ，目标函数可化为 z y 2x ，即 y 2x z ，平移
2
2c
cosC 0，C ,选 A. 2
a2 a1 a1 29 28
2 1 1 210 1023，选 C. 1 2
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．B
解析：B 【解析】
由 {an } 为等差数列，所以
S9 9
S5 5
a5
a3
2d
4 ，即 d
2 ，
由 a1 9 ，所以 an 2n 11，
2
2
a b 5, c 7 ，则 ab 为 ．
14．已知数列
an
、
bn
均为等差数列，且前
n
项和分别为
Sn
和
Tn
，若
Sn Tn
3n 2
，
n 1
则 a4 b4
_____．
15．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S13 6 ，则 3a9 2a10 __________．
，
(
，
)．
2
（1）当 cos ＝ 5 时，求小路 AC 的长度；
5
（2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度．
22．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 cos A 2 cos C 2c a
cos B
b
（1） 求 sin C 的值 sin A
y
x
，若 z 2x y 的最小值为 3，则实数
y x b
b ____ 三、解答题
21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示
的四边形 ABCD．其中 AB＝3 百米，AD＝ 5 百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角