• 由于Pℓ(x)是ℓ次多项式，因此最多只能求ℓ次导 数，故ℓ≥m，即m=0,1,2,…, ℓ.
• 一些低阶连带勒让德函数：
1. P11(x)=(1-x2)1/2=sinθ, 2. P21(x)=(1-x2)1/2(3x)=3/2sin2θ, 3. P22(x)=3(1-x2) =3sin2θ=3/2(1-cos2θ),…
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
π
2π 0
f (θ ,ϕ) sin mϕdϕ
⎧
∑ ⎪⎪ Am
⎨
∑ ⎪⎪⎩Bm
(θ (θ
) )
= =
∞
l=m ∞
l=m
Alm Blm
Pl Pl
m m
(cosθ (cosθ
) . )
∞∞
∑ ∑ f (θ ,ϕ) =
[ Alm cos mϕ + Blm sin mϕ]Plm (cosθ ).
m=0 l=m
• 解：以球坐标的极轴为对称轴，解应当具有如下
∑ 形式：
u(r,θ )
=
∞ l=0
( Al r l
+
Bl r l+1
)
Pl
(cosθ
),
⇓ (Bl = 0)
∞
∑ u(r,θ ) = Alrl Pl (cosθ ). l=0
• 由于球心处的值应当有限，故上式的第二项需舍 弃。
• 需要根据边界条件来确定系数Aℓ的值，有
• （二）正交关系（对所有的m和ℓ ）
∫∫ ∫ ∫ Ylm (θ ,ϕ)[Ykn (θ ,ϕ)]* sinθdθdϕ =
π 0
Pl m
(cosθ
) Pkn
(cosθ
)
sin
θdθ
2π eimϕ e−inϕ dϕ
0
= (Nlm )2δ klδ mn.
(
N
m l
)2
=
4π (l+ | m |)! .
(2l +1)(l− | m |)!
这个方程可以直接用级数解法进行求解。
• 还可以有更为简洁的办法，因为上述方程就是对勒让德方 程(1-x2)yP’’-2xP’+ ℓ(ℓ+1)P=0逐项求导m次得到的方程， 即： (1-x2) P[m]’’-2(m+1)x P[m]’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)] P[m]=0.
• 因此其解就是y(x)=Pℓ[m](x). 对应的本征值ℓ(ℓ+1)完全一样。 • 于是连带勒让德方程的解为 Pℓm(x)=(1-x2)m/2Pℓ[m](x).
• 例2. 以勒让德多项式为基，在[-1,1]上把f(x)=|x|展 开为广义傅里叶级数。p282
∑ |
x
|=
1 2
P0
(x)
+
∞ n=1
(−1)n+1
(4n +1)(2n −1)!! (2n −1)(2n + 2)!!P2n
( x).
• （五）拉普拉斯方程的轴对称定解问题
• 例3. 在球r=r0的内部求解Δu=0使满足边界条件 u|r=r0=cos2θ. p284
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
+ 1)Y
= 0.
• 其解Y(θφ)称作球（谐）函数。进一步分离变量： Y(θφ)=(Acosmφ+Bsinmφ)Θ(θ)， Θ(θ)满足 连带勒让德方程：(x=cosθ)
dz,
• 其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）连带勒让德函数的正交关系（m相同！）
∫ P +1 m −1 l
( x) Pkm
(
x)dx
=
(
N
m l
)2δ
kl
,
∫π 0
Plm (cosθ )Pkm (cosθ ) sinθdθ
=
(
N
m l
)
2
δ
kl
.
(Nlm )2 =
2(l + m)! . (2l +1)(l − m)!
∞
∑ f (θ ) = fl Plm (cosθ ), l=0
∫ fl
=
2l +1 (l − m)! 2 (l + m)!
π 0
f (θ )Plm (cosθ ) sinθdθ.
• *（四）连带勒让德函数的递推公式：p307
– 对勒让德函数的递推关系球m次导数！
§10.3 球谐函数
• （一） ℓ阶球谐函数
+ Bl / rl+1)Pl (cosθ ).
θr M φ
⇒ Bl = 0.
• 为了求系数Aℓ，可以直接令θ=0，有
勒让德多项 式的母函数
∑ 1
1− r
=
∞ l =0
Al r l
== 1+ r
+ r2
+L+ rl
+L
→ Al = 1. (l = 0,1,2,L)
⇓
∑ 1
1− 2r cosθ + r 2
• 解题说明：由于勒让德多项式是定义在整个球形区域，故 需要对本问题进行偶延拓，即把边界条件补充定义成x的 偶函数。
• *例5. 匀强静电场中的介质球。（课堂练习） p287
• （六）母函数
4πε0
• 球内M点的静电势为：
d
∑ 1 =
d
1
1− 2r cosθ + r 2
≡
∞
( Al r l
l =0
• （四）广义傅里叶级数
• 根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质，勒让德多 项式Pℓ(x)是完备的，因此可以作为广义傅里叶级 数的基，把定义在区间[-1,1]上的函数展开：
∞
∑ f (x) = fl Pl (x), l=0
∫ fl
=
2l +1 2
+1
−1 f (x)Pl (x)dx,
或
∞
∑ f (θ ) = fl Pl (cosθ ), l=0
• （三）球面上的函数的广义傅里叶级数 • 以（1）为基展开函数f(θ,φ)，分两步进行：
∞
f (θ ,ϕ) = ∑[ Am (θ ) cos mϕ + Bm (θ ) sin mϕ]. m=0
∫ ⎧
⎪⎪ ⎨
Am
(θ
)
=
1
πδ m
2π f (θ ,ϕ) cos mϕdϕ
0
.
∫ ⎪⎪⎩Bm
(θ
)
=
1
=
∞
rl Pl (cosθ ).
l=0
(r < 1)
• 为什么叫母函数？
• *例6. 在点电荷4πε0q的电场中放置半径为a的接地导体 球，球心距点电荷为r1 (r1>a)，求解这个静电场。p291
• （七）勒让德多项式的递推公式
(k +1)Pk+1(x) − (2k +1)xPk (x) + kPk−1(x) = 0,
xl−2k . 2k )!
• [ℓ/2]表示不超过ℓ/2的最大整数。
• 前几个勒让德多项式的曲线见p276:
P0 (x) = 1
P1(x) = x = cosθ
P2 (x)
=
1 2
(3x 2
−1)
=
1 4
(3 cos
2θ
+ 1)
P3
(x)
=
1 2
(5x3
−
3x)
=
1 8
(5cos 3θ
+
3 cos θ
(1
−
x
2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
1
m2 − x2
]Θ
=
0.
§10.1 轴对称球函数
• （一）勒让德多项式：
m=0，则Φ(φ)=常数，拉普拉斯方程的角向部分简化为
勒让德方程：
(1− x2 ) d 2Θ − 2x dΘ + l(l +1)Θ = 0.
dx 2
dx
• 其中x=cosθ.
• B. 微分表示：罗德里格斯公式
Plm (x)
=
(1
−
x2
)−
m 2
2l l!
d l+m dx l + m
(x2 −1)l
=
(−1)m
(l (l
+ −
m)! m)!
Pl−m
( x).
• *C. 积分表示：施列夫利积分
∫ Plm (x) =
(1
−
x
2