1.轴对称球函数（m=0）
一. 勒让德多项式
(1) 一般表达式
级数表示
约定级数中最高次幂 x
l
(2l )! 的系数是 al l 2 2 (l !)
2
反用系数递推公式
[ l / 2]
ak 2
k k l (l 1) ak (k 2)(k 1)
4
P ( x) l

完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m


例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
x cos
r R"2rR'l (l 1) R 0
2
[(1 x 2 )' ]' l ( l 1) 0 ( 1)有界
R Al r l Bl r l 1
f ( )


l 0
Rl ( a ) Pl (cos )
u


l 0
Rl ( r ) Pl (cos )
解:定解问题为
u 0 u |r r0 u0 sin cos sin u |r 0 有限
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u ( r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
m 0 l m
代入边界条件:
m 0 l m
r0l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos ) u0 sin cos sin
24


右边按球函数展开：
1 u0 sin cos sin u0 (3sin 2 ) sin 2 6 1 u0 P22 (cos ) sin 2 6
12
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的
电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质 球内外的电场强度 分析：球内电势
球外电势 衔接条件
13
10.2 连带勒让德函数
一. 连带勒让德函数
d 2 d m2 2 [l (l 1) ] 0(m 0,1, 2,) (1 x ) 2 2 x 2 dx dx 1 x y | 有限 x 1
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 • 正交性 1 –正交性公式 P ( x)P ( x) 0(k l ) k l
1
–模 N P2 ( x)dx l
2 l 1
1
Nl
2 (l 0,1, 2,) 2l 1
完备性 f ( x) f l Pl ( x) –完备性公式 l 0 –广义傅立叶系数 2l 1 1 系数fl 1 f ( x) Pl ( x)dx 2 –完备性应用例题
( ) A cos m B sin m
Pl m ( x)
sin
d d (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
20
球函数方程的解为球函数:
Yl m ( , ) Pl m (cos )( Alm cos m Blm sin m ) sin m Pl (cos ) cos m
所以
y ( x) Pl ( x)
[m]
(1 x ) Pl ( x)
[ m]
m 2 2
通常记作:
m
Pl ( x)
2 m/2
m
Pl ( x) (1 x )
Pl
( m)
( x)
(1 x 2 ) m / 2 d l m 2 l ( x 1) l l m 2 l! dx
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
1 P3 ( x ) 1 (5 x 3 3 x ) 8 (5 cos3 3 cos ) 2 1 P4 ( x ) 8 (35x 4 30x 2 3) 1 ( 35cos 4 64
20 cos 2 9)
6
图象
7
8
二. 勒让德多项式的性质
• 奇偶性 Pl(-x)) = (-1)l Pl( x) ( x (1)l Pl (x) Pl • 零点定理
26
d 2 dR 球函数方程 (r ) l (l 1) R 0 dr dr 1 Y 1 2Y (sin ) l (l 1)Y 0 2 2 sin sin
u(r , , ) R(r )Y ( , )
0
Y ( , ) ( )( )
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2

1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
m
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性

S
Yl mYkn d n ,m l ,k ( Nlm ) 2 d

S

2
0
d

0
4 (l m)! sin d , ( N ) 2l 1 (l 21 )! m
m l 2
第十章
球函数
1.轴对称球函数
2.连带勒让德函数
3.一般的球函数
1
球函数
称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：
Y ( , ) A cos m B sin m
其中： 函数满足连带勒让德方程：
第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的 级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是 这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义 的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而 构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次 幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解 ，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为 有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。

m 0 l m


r
[Cl m cos m Dl m sin m ]Pl m (cos ) ( l 1)
1
由于解在内部有限,所以含

1
( l 1)
项舍去
r
所以 u (r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos ，
底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2 定解问题为：u |r r0 u0 cos u | 0 2
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后 r u 0， a u |r a u0 cos ( 2 )
1 P2 (cos ) P22 (cos ) cos 2 2
22
三. 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题
拉普拉斯方程在球形区域的定解问题, 如果是非轴对称的,问题与
有关, 用一般的球函数
例4. 半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势
u0 sin 2 cos sin , u0 为常数,求球形区域内部的电势分布 为
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l

( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
15
注意: 区分 Pl[ m ] ( x) Pl m ( x)
l m, m 0,1, 2l
l 0,1, 2,3,
16
17
18
二. 连带勒让德函数的性质
奇偶性
Pl m ( x) (1)l m Pl m ( x)
正交性

1
1 m l
P m ( x) P m ( x)dx k ,l ( N lm ) 2 , k l
2
比较系数得:
1 r0 B u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为：
1 2 2 u (r , , ) 2 u0 r P2 (cos )sin 2 6r0
25
练习：
u 0 u 1 2 2 |r r0 u0 (sin sin ) 3 r u |r 有限
求对应的本征函数: 设 (1 x ) பைடு நூலகம்( x) 带入方程整理得:
(1 x2 ) y 2(m 1) xy [l (l 1) m2 ] y 0(m 0,1, 2,)