定义3.1.1 有向曲线
在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的 概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起 点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向 是这样规定的：
(1) 如果曲线 L是开口弧段，若规定它的端点P 为起点，Q 为终点，则沿曲线L 从 P 到 Q的方向 为曲线 L 的正方向（简称正向），把正向曲线记
0
0
2
又因 ∫C zdz = ∫C(x+iy)(dx+idy) = ∫C xdx− ydy +i∫C ydx+ xdy
由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积
分与路径无关的条件，所以 ∫C z的dz值不论 是C怎样的
曲线都等于
1 (3，+4i这)2 说明有些函数的积分值与积
2
分路径无关．
例 3.1.2 计算∫C Re(z)dz ：（1）C 是连接点 0 和
为 L或 L+ . 而由 Q 到 P 的方向称为的负方向（简
称负向），负向曲线记为 L−.
(2) 如果 L是简单闭曲线，通常总规定逆时针方
向为正方向，顺时针方向为负方向．
(3) 如果 L是复平面上某一个复连通域的边界曲
线，则 L 的正方向这样规定：当人沿曲线 L 行
走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界 部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针 为正方向．
那么函数 f(z)沿边界L或区域 D内任意闭曲线 l 的积分为
零，即
i∫ f (z)dz = 0 （3.2.1） L
或
i∫ f (z)dz = 0 （3.2.2） l
L
l
G D
图 3.2
证明：如图 3.2所示，由于对函数
f (z) =u(x, y)+iv(x, y)
∑ 上任意取一点 Sn =
n
f
(ζ
k
)
Δ
z
，并作和
k
其中 Δsk = z¼ k−1zk ，记k =1 Δzk = zk − zk −的1 最大长度为ζ k
则当n无限增大，且 λ = m1≤ka≤xn{Δsk} λ →0 时， 如果无论对L的分法及 Sn 的取法如何，都有惟
一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L
本章补充新题型
本章小节 本章测试题
重点内容:
(1) 柯西积分定理(单、复连通区域); (2) 柯西积分公式(单、复连通,无界区域); (3) 高阶导数公式及其应用; (4) 调和函数的应用；
3.1 复变函数的积分
3.1.1 复变函数积分的概念
在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线 的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其 起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方 向是这样规定的：
长和弧长，两边取极限就得到
∫L f ( z)dz ≤ ∫L f ( z) dz = ∫L f (z) dS
（6）积分估值定理 若沿曲线 L，f (z)连续，且 f (z)
在 L上满足 f (z) ≤ M (M > 0) ，则
∫L f ( z)dz ≤ Ml
其中 l 为曲线 L 的长度．
(3.1.11)
dθ
=
i r n−1
θ e d 2π −i(n−1)θ
0
⎧2πi,
∫ =
⎪ ⎨
i
⎪⎩ r n−1
2π{cos[(n −1)θ ] − i sin[(n −1)θ ]}dθ ,
0
计算即得
n =1 n ≠1
i∫ dz L (z − z0 )n
=
⎧2πi ⎨⎩0
n =1 n ≠1
(3.1.12)
3.1.5 复变函数环路积分的物理意义
时，不论对L的分法如何，点 f ( z )的取法如何，只要上式
右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，
由于 (ξk ,ηk ) 连续，则 u, v 都是连续函数，根据曲线积
分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到
∫L f (z)dz = ∫L[u(x, y)dx −v(x, y)dy]+i∫L[v(x, y)dx +u(x, y)dy]
并称为复变函数f (z)的闭合环路积分（简称环路
积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路 积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分
i∫ L f ( z ) d z 表示. 若沿顺时针方向积分，可用 j∫ L f ( z ) d z 表示.
由此可知，当n →∞，且小弧段长度的最大值 λ → 0
在复变函数论中,复变函数的积分尤其是闭合环路积分 是很重要的概念．现简要介绍其物理意义【7】
设复变函数 f (z) = u(x, y) + iv (x, y) 定义在区域 D 内，L 为区域 D 内一条光滑的有向曲线，并设二维向量 P 对 应于复变函数 f (z) 的共轭 f (z) = u(x, y) − iv (x, y) ．我们 注意到： i 是虚数单位，所以实部对应于实轴分量，虚部对 应于纵向 ( y) 分量．即可对应写为
L
f1(z)±
f2(z)]dz =
L
f1(z)dz±
L
f2(z)dz
(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即
∫ ∫ f ( z)dz = − f ( z)dz
L−
L
L − 为 L 的负向曲线．
（3.1.9）
(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即
∫L f (z)dz ≤ ∫L f (z) dz = ∫L f (z) dS
(3.1.3)
即我们可以把复积分 ∫L f (z)dz 的计算化为两个
二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可
把 f (z)dz 理解为 (u + iv)(dx + idy) ，则
f (z)dz = udx − vdy + i(vdx + udy)
上式说明了两个问题：
(1) 当 f ( z )是连续函数，且L是光滑曲线时，积
1+i 的直线段；（2）C 是由 0 到 1，再由 1 到 1+i 的折线段．
【解】（1）C 可表示为 z = (1+ i)t, 0 ≤ t ≤ 1 ．
所以
∫ ∫ Re(z)dz =
1
t (1 +
i)dt
=
1
(1 +
i)
C
0
2
（ 2 ） C 分 为 两 段 ： C1: z = t, 0 ≤ t ≤ 1 ;
第3章 复变函数的积分
复变函数积分理论是复变函数的核心内容， 关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论 的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性 质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公 式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将 得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的 结论。
本章基本内容:
3.1: 复变函数的积分 3.2: 柯西-(古萨)积分定理 3.3: 复合闭路定理 3.4: 科西积分公式 3.5: 解析函数的高阶导数 3.6: 几个重要的定理 3.7: 解析函数与调和函数
L 是以 z0 为中
心，r 为半径的正向圆周，n 为整数．
【解】 根据 L 为正向圆周（即逆时针方向），故其参数方程 可以表示为：
因此
z = z0 + reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π dz = ireiθ dθ ,
i∫ ∫ ∫ dz = L (z − z0 )n
2π 0
rieiθ r neinθ
通过前面的例 题我们发现，例 3.1.1 中的被积函 数
f (z) = z 在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点
的 任 何 路 径 的 积 分 值 都 相 同 ， 换句 话 说 ， 积 分 与 路 径 无
关．例 3.1.2 中的被积函数 f (z) = Re(z) 是不解析的，积
分 与路径是 有关的． 也许沿 封闭曲线 的积分 值与被积 函数 的 解 析 性 及 区 域 的 单 连 通 性 有 关． 我 们 自 然 要 问 ： 函 数
i∫ i∫ = L Pgl0ds + i L Pgn0ds i∫ L Pgl0ds
由场论知识可知：闭合环路积分 i∫ L f ( z )d z 的物
理意义为, 实部 P 表示向量场 沿 L 曲线的环
量．虚部 i∫ L P gn0ds表示向量场沿曲线 L 的通量．
3.2 柯西积分定理
3.2.1 柯西积分定理
Pgn0ds = [u(x, y)ex − v (x, y)ey ]g[dyex − dxey ] = v (x, y)dx + u(x, y)dy
故复变函数的环路积分为
i∫
L
f
(z)dz
=
i∫
[u(x,
L
y)
+
iv
(x,
y)]
d(x
+
iy)
= i∫ Lu(x, y)d x −v(x, y)d y+ii∫ Lv(x, y)d x + u(x, y)dy
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz
L
L1
L2
（3.1.6）
(2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即
∫L kf ( z)dz = k ∫L f ( z)dz
（3.1.7）
(3) 函 数 和 （ 差 ） 的 积 分 等 于 各 函 数 积 分 的 和 （差），即
∫ ∫ ∫ [
【证明】 由于f (z) 在 L 上恒有 f ( z) ≤ M ，
所以
∫L f ( z) dS ≤ ∫L MdS = M ∫L dS = Ml
又 ∫L f ( z )dz ≤ ∫L f ( z ) dS ，则