高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测一含解析新人教A 版选修11章末综合检测(一)[学生用书P93(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D.“－1<x <1”的否定是“x ≥1或x ≤－1”；“x 2<1”的否定是“x 2≥1”，故选D.3．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．4．已知命题①若a >b ，则1a <1b；②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0.则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D.①的逆命题为“若1a <1b，则a >b ”，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为“若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0”是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．5．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(﹁p )∨qB ．p ∧qC ．(﹁p )∧(﹁q )D ．(﹁p )∨(﹁q )解析：选D.易得命题p 为真命题，命题q 为假命题，结合各选项知只有(﹁p )∨(﹁q )为真命题．6．已知命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“﹁p ”为假D ．“﹁q ”为真解析：选A.p 为假，q 为真，故选A.7．已知命题p ：在△ABC 中，若A >B ，则cos A >cos B ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 的逆命题 B ．p 的否命题 C ．p 的逆否命题D ．p 的否定 解析：选D.命题p 的否命题是“在△ABC 中，若A ≤B ，则cos A ≤cos B ”，是假命题，所以它的逆命题也是假命题，故A ，B 错误．命题p 是假命题，所以p 的逆否命题是假命题，p 的否定是真命题，故C 错误，D 正确．8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D ．方程f (x )＝g (x )在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A.在同一坐标系内作出两函数的大致图象，在(0，＋∞)上两交点为(2，4)，(4，16)．当x >4时，由图象知f (x )<g (x )，其余三命题均错误．9．下列判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N *，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N *，x 30<x 20”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件 D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：选D.选项A 的命题是全称命题，不正确，选项B 应该是∃x 0∈N *，x 30≤x 20，不正确；对于选项C ，f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，周期T ＝2π2a ＝πa ，当a ＝1时，周期是π，当周期是π时，a ＝±1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的充分不必要条件；选项D 正确，故选D.10．给定下列命题：①“x ∈N ”是“x ∈N *”的充分不必要条件； ②“若sin α≠12，则α≠π6”；③“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题； ④命题“∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0”的否定． 其中是真命题的是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③④D ．②③④解析：选B.“x ∈N ”是“x ∈N *”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝π6，则sin α＝12正确，故②正确；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，所以③中原命题错误，其逆否命题也错误，故③错误；④正确．11．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2xm ＋1＝0”．若命题﹁p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)解析：选C.由题意可知命题p 为真，即方程4x＋2xm ＋1＝0有解，所以m ＝－4x＋12x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ≤－2. 12．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )>0的一个必要不充分条件是( ) A ．x <0 B ．x <0或x >4 C ．|x －1|>1D ．|x －2|>3解析：选C.由f (x )＝x 2－4x >0，得x <0或x >4.由|x －1|>1，得x <0或x >2.由|x －2|>3，得x <－1或x >5，所以只有C 是f (x )>0的必要不充分条件．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．命题“∃x 0∈{x |x 是正实数}，使x 0＜x 0”的否定为________命题．(填“真”或“假”)解析：原命题的否定为“∀x ∈{x |x 是正实数}，都有x ≥x ”，是假命题． 答案：假14．给出下列说法：①若“p 且q ”为假，则p ，q 中至少有一个是假命题； ②当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增． 其中说法错误的是________(填序号)．解析：若“p 且q ”为假，则p ，q 中至少有一个是假命题，故①说法正确；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，故②说法错误．答案：②15．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则﹁p 是﹁q 的________条件．解析：﹁p ：23≤x ≤2.﹁q ：－1≤x ≤2.﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ⇒/ ﹁p . 所以﹁p 是﹁q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要16．命题“∀x ∈R ，ax 2－2ax ＋3>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________________． 解析：当a ＝0时，3>0恒成立，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a 2－12a <0，得0<a <3，综上可得，0≤a <3. 因为命题“∀x ∈R ，ax 2－2ax ＋3>0”是假命题， 所以a 的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪[3，＋∞)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定形式，并判断真假： (1)q ：存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋3≤0； (2)r ：等圆的面积相等，周长也相等．解：(1)﹁q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0.真命题．因为x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114>0恒成立．(2)﹁r ：存在两个等圆，其面积不相等或者周长不相等．假命题．等圆的面积和周长都相等．18．(本小题满分12分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．19．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．20．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0且a ＜0得3a ＜x ＜a ， 所以p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }． 由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为﹁q ⇒﹁p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅， 命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围： (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解：命题甲为真命题时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.命题乙为真命题时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－12或a >13.(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13<a ≤1；甲假乙真时，－1≤a <－12，所以甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪13<a ≤1或－1≤a <－12.。