24.1.2垂直于弦的直径导学案
广水市实验中学张运才
【学习目标】
1.理解圆的轴对称性．
2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．
【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．
【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
【学习过程】
【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：
（一）情景导入：观看赵州桥视频。

聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？
（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。

探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？
我发现：
（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆．
（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴．
探究二：请同学们按下面的步骤做一做：
第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；
第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足；
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？
（2）你能用一句话概括上述结论吗？
（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．
练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？
【交流学】先独立完成，后小组交流。

1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论：
（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
思考：你能用一句话概括上述结论吗？
推论：
如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
发现：
2.解决问题：同学们，现在能求出赵州桥所在圆的半径了吗？
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，
D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．你能求出半径R吗？
3．典型例题：
如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=2BE时，求ED的长.
【学后思】
（一）课堂小结：同学们，通过本节课的学习,你有哪些收获?
（二）巩固练习
1．判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×”）
①垂直于弦的直线平分这条弦（）
②平分弦的直线，平分弦所对的这条弧（）
③垂直于弦的直径平分这条弦（）
④平分弦的直径垂直于这条弦（）
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【师生评】
（一）课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
(1) 教材89页习题24.1第10题
(2)直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC
与BD相等吗？说说你的理由．
（二）课后反思
C
O
E D
A
B
课题：24.1.2垂直于弦的直径
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD如图．
教师提出以下问题：
（1）在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
（2）你能用一句话概括上述结论吗？（板书定理内容）
（3）你能用符号语言表达这个结论吗？（板书）
引导学生对定理的文字叙述、符号语言进行条件和结论的划分（两个条件推出三个结论）
练习：如下图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
【合作交流】
教师引导学生分析垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论: ③AE=BE④弧AC= 弧BC⑤弧AD=弧BD.
如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
从学生组合的新结论中挑选出：
条件：①直径CD过圆心O③AE=BE
结论：②CD⊥AB④AC= BC⑤AD=BD.
进行探讨、交流，看结论是否成立.
探究：如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？
如果弦AB是直径，结论还成立吗？它的对称轴或
经过圆心的直
线是圆的对称
轴．
【探究2】
学生通过动手
操作，观察操
作结果，在老
师的引导下，
小组合作，分
析、归纳归纳
垂直于弦的直
径的性质．
练习旨在熟练
垂径定理的基
本模型．
【合作交流】
学生在教师的
引导下，小组
合作探讨，分
析、归纳垂直
于弦的直径的
性质推论.
学生动手操作，
观察操作结果，
教师通过层层
递进的提问，引
导学生探究出
垂直于弦的直
径的性质，并让
学生在合作探
究中对垂径定
理的文字语言、
符号语言、图形
语言三种语言
的相互转化进
行探究，形成整
体，进而熟练掌
握.这样设计培
养了学生的观
察能力和归纳、
概括的思维能
力，并使学生领
略到圆的对称
美，同时发展了
学生的符号感，
思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 三、学以致用：
回到情境引入中求赵州桥主桥拱所在圆的半径问题： 1．解决问题:如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高．半径R 即为所求． （幻灯片展示解题过程）
2典型例题：如图，D 是⊙O 的弦BC 的中点，A 是⊙O 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD 的长；
（2）当EO=2BE 时，求ED 的长.
四、课堂小结：学生归纳本节课的收获；
五、巩固练习：
1：判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×” ）
①圆的每一条直径都是它的对称轴（ ） ②垂直于弦的直线平分这条弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ）
老师引导学生画出图形，用垂径定理的基本模型解决问题.学生在教师的引导下理解拱高
老师引导学生结合图形，分析利用垂径定理的基本模型解决问题的方法.
学生思考、归纳总结本节课的收获．
巩固练习由小组所有成员共同完成，完成后小组交流展
分化了难点．
【合作交流】 垂径定理的推论较多且为考察的重点，本节主要探究垂径定理及其推论的内容和应用．通过以上三个探究活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越． 通过解决这一数学实际问题，
C
O
E D A B
④平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（）
2：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
六、课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
（1）教材89页习题24.1第10题
（2）如图，直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC 与BD相等吗？说说你的理由．
七、板书设计：
24.1.2垂直于弦的直径
一、圆的对称性：
二、垂径定理：
定理内容：
图形：
符号语言：
推论：
三、例题：
四、小结：示．巩固练习
1旨在让学生
熟练掌握圆的
对称性、垂径
定理及其推
论．巩固练习
2旨在让学生
熟练垂径定理
的运用．
课后作业第1
题为课后作
业，学生课后
完成．第2
题为拓展练
习，供学有余
力的同学钻
研，其中（1）
题应用垂径定
理求出弦心
距，从而求出
两平行线间的
距离.注意考
虑弦在圆心同
侧和异侧两种
情况，渗透分
类讨论的思
使学生感受数
学的灵活与精
巧，体会垂径定
理中蕴含的历
史和文化．
培养学生的观
察能力、分析能
力，进一步体会
和理解研究几
何图形的各种
方法；培养学生
合作交流的精
神.
让学生通过归
纳总结，使知识。