高考题展示
已知正方形 ABCD 边长为4,E,F为AD,AB 的中 点,MC垂直于平面 ABCD 且MC=3,(1)求BC与 MF所成的角;(2) 求BF与面EFM成角.
M
D
E
C
A
F
B
向量法求空角
前郭五中 杨雪梅
课前热身
1.若a ? (a1, a2, a3)，b ? (b1,b2,b3),则：
数量积： a ?b ?| a | ?| b | ?cos ? a,b ?
知识储备
1直线的方向向量： 2.平面的法向量 ：
l
a
l
?
b a
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
?
?
??? 0,
?
2
? ??
C
D
思考：
?
A ? D1
B
? CD, AB ? 与?的关系？
? DC, AB ? 与?的关系？
? 结论： cos? | cos ? CD, AB ?|
? 例1：如图，正方体中，点 M是AB的中点, 求 DB1 与CM所成角的余弦值 .
C
D
A ? D1
?
B
A
n
?B ? O
n2
当解空间图形问题几何法难进行时 ,可以尝试运用空 间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建系，设点
（2）求方向向量，或法向量
（3）运用公式
Z M
X D
E
C
A
F
B
Y
练习1：正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1.
求 B1C1与面 AB 1C 所成的角 .
A1
B1
D1 C1
A B
D C
小结：
1.异面直线所成角：
? cos? |cos ? CD, AB ?|
2.直线与平面所成角：
? sin? |cos ? n, AB ? |
? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
夹角公式：cos ? a ?b ? ? a ?b ?
a1b1 ? a2b2 ? a3b3
| a | ?| b | a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2 )，则：
AB ? (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1)
? 1?1 ?4 ?
30
| AF1 || BD1 | 5 3 10
42
所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为
30 10
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围：? ? [0, ? ]
2
An
思考：
?B ? O
? n, BA ? 与?的关系？
? 结论： sin? | cos ? n, AB ? |
解:如图建立坐标系,设棱长为1
则D(0,0,0),C(0，1，0)M(1,
1 2
,0)
B1（1，1，1）
CM=(1 ,- 1 ,0)
2
DB1=（1，1，1）
设DB1与CM所成角 ?
Cos?=|cos< CM, DB1>|=
15 15
? DB1与CM所成角的余弦值.为
15 15
A1
A X
D1D1与AF1 则：A(1,0,0), B(0,1,0),
F1
(
1 2
,0,
a),
D1
(
1 2
,
1 2
,1)
成角 ?C1
F1
A1 C
z
D1
所以：
AF1
?
(?
1 2
,0,1),
A
B1
y
B
11
BD1
?
( 2
,?
2
,1)
Co ?s = cos ? AF1, BD1 ? ?
x
AF1 BD1
例3 已知正方体 ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 2，点 E为棱CC1的中点，（ 1）求平面BDE 的法向量。 （ 2）求 A1D与面 BDE成的角。
高考题展示
已知正方形ABCD 边长为4,E,F为AD,AB 的中点,MC垂直于平面 ABCD 且MC=3,(1)求BC与MF所成的角;(2)求BF与面EFM成角.
D B
M
C1
C Y
题型一：线线角
练习：
Rt
ABC中，? BCA ? 900,现将
ABC沿着
平面ABC的法向量平移到? A1B1C1位置，已知
BC ? CA ? CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
C1
F1 D1
B1
A1 C
B
A
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz