2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学（华约）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______A.7 B.72 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B. 2C. 3D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

A.0B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。

A 1 B 2 C 3 D 47． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2C ．24π D ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

A 81/4B 83/4C 81/5D 83/510. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．A B C D二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．二、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为252。

（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。

三.（本小题满分25分）已知数列{a n }中的相邻两项a 2k-1，a 2k 是关于x 的方程x 2－（3k+2k ）x+3k×2 k =0的两个根. （1）求数列{a n }的前2n 项和S 2n .（2）记f （n ）=21（nn sin |sin |+3），T n =21)2(1-a a f ）（+43)3(1-a a f ）（+65)4(1-a a f ）（+…+n n n f a a 212)1(1--+）（，求证：61≤T n ≤245（n ∈N +）四、已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x=的交点为B 、C 。

现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m ，0），当椭圆的离心率满足1322<<e 时，求实数m 的取值范围。

五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。

假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。

若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量ξ的数学期望E ξ；（2）记“关于x 的不等式012>+-x x ξξ的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A发生的概率P （A ）。

数学答案及详解1． 解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=。

容易得到此三角形为等腰三角形。

因此 选 D 。

2． 解：建立空间直角坐标系。

设A(0,-1,0), B(0,1,0),S, (0,0,2M ，P(x,y ,0).于是有(0,1,),(,,32AM MP x y==由于AM ⊥MP ，所以(,,0x y ⋅=，即34y =，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2= 因此 选 B 。

3. B4.. 答：6110若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1n。

如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,,n a a a ，则概率为1211111112011999999n a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以所求概率为1211111112011999999n p a a a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑11111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111110099981098⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相除即得6111110001001010p =⨯⨯=。

5．解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程001sin cos x x t t ββ-+=++，的两个根，即为方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根。

因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0。

6．解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x ---+=+++++=++++++。

7． 458． B9. 答：815令2u t =，原方程化为3321()(3)0.x y u x y u x y-+++=- ① 233221(3)4()523(53)().x y x y x yx xy y x y x y ∆=+--⋅-=+-=-+所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，,3,3,(53)()0x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪-+<⎩或,3,3,(53)()0,30.x y x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪-+≥⎪⎪+<⎩点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为124181363.2525ABO BCO S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=10. 答：916π因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。

设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-=。

因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++，所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π。

二、解答题一． 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--．若()0f x =有实根，则240b c ∆=-≥，在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤即420,420,44,b c b c b -+⎧⎪++⎨⎪-⎩≥≥≤≤消去c ，解出4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤即4b =-，这时4c =，且0∆=．若()0f x =无实根，则240b c ∆=-<，将38c b =--代入解得84b -<<-． 综上54b --≤≤．所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，单调递减 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=．注重分类讨论 二、解：（1）设c 为椭圆的焦半径，则2425,54a c c a ==。

于是有a ＝5，b ＝3。

（2） 解法一：设B 点坐标为(,)s t ，P 点坐标为(,)x y 。

于是有6(6)AB s t AP x y =-=-（，）, ，。

因为AB AP ⊥，所以有6(6)(6)(6)0s t x y s x ty --=--+=（，），。

(A1 )又因为ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即= (A2 )由（A1）推出22226(6)6(6)ty t y s s x x -=-⇒-=--，代入（A2），得 226t x =-（）从而有 226y s =-（），即6s y =+（不合题意，舍去）或6s y =-。

代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程22661925x y --+=（）（）。

解法二： 设11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，则以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为6cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩。

设AB 与x 轴正方向夹角为θ，B 点的参数表示为116cos sin x r y r θθ=+⎧⎨=⎩，P 点的参数表示为6cos(90)6sin ,cos sin(90)x r x r y r y r θθθθ⎧=+-=+⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩即. 从上面两式，得到1166x yy x =-⎧⎨=-⎩。