dx、 xy
xy x
dx、 xz
xz x
dx
• 由x方向的平衡
x
x x
dx dydz
x dydz
yx
yx y
dy dxdz
yx dxdz
zx
zx z
dz dxdy
zx dxdy
Xdxdydz
0
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
• 张量表示
用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13
ij 21
22
2
3
31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
zx
zy
z
l1 m1 n1
[] l2 m2
n2
l3 m3 n3
x
'
x'y'
x
'
z
'
• []＝ y'x' y' y'z'
z'x'
z' y'
z'
＝[] [] []T
• 在主平面上
主应力
T( n)＝ n 或 Tx＝ l Ty＝ m Tz＝ n (x)l+yxm+zxn＝0 xy l+(y)m+zyn＝0 xzl+yzm+(z)n＝0
• 求解方法 （1）解析求解 （2）数值求解法： 差分方法、有限元方法和加权残数法等。
弹性力学基本假定
• 连续性 • 完全弹性
• 线弹性、小变形 • 均匀性 • 各向同性
• 定义
应力矢量
T(n) = lim F s0 S
C
n S
z
P F
A y
x
• 坐标分量
T(n) = Txex+Ty ey +Tzez ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量， Tx、Ty 和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。 • 法线方向和切线方向分量 沿法线方向的应力分量称为正应力， 沿切线方向的应力分量称为剪应力。
性质：
• 同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关， 所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态 只有三个面上的应力矢量是独立的；
• 外法线为n微面上的应力矢量为： T(n)= T(n)
应力张量
• 微六面体
xy
x
xz y
zy z
三个坐标面上的应力矢量 T(ex)＝xex+xyey+xzez T(ey)＝yxex+yey+yzez T(ez)＝zxex+zyey+zez
x
0
0 0
y
• 偏应力张量sij的主值
s3+J2 s+J3=0
J1 =skk = sx+sy+sz=0
J2
=sijsij=
1
[(xy)2+(yz)2+(xz)2+6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
6
x - 0 xy
xz
J3 sij yx
y - 0
yz
zx
zy
z 0
2 s1
J 2 cos 3 3
2 s2
J 2 cos 3 3
3
cos3 3 J 3 3 2 J2
2 s3
J 2 cos 3
• 与应力张量主值关系 s1 = 10 s2 = 20 s3 = 30
2 1
J2 3
cos
3
0
2 2
J2 3
cos
3
0
2 3
J 2 cos 0
3
两者方向相同
3
2
2
2 n
1 3 2
• 最大剪应力
规定123
2
max
1
3 2
• 所在平面
1
与2平行而与1和3的角度分别为450
3 1 2
3
Mohr应力图
• 每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 — 截面上的应力对应坐标系的一个点
• 截面上的正应力和剪应力 2n 2n T 2 ＝(l1)2+( m2)2+( n3)2
1 1 1 0 22
1 (4) 1 2
2
2
2
T2
n112
n222
n332
1 2
0
1 2
3
1 0 3
2
2
T3
n113
n223
n333
1 2
(4)
1 2
0
1 5 2 5 2
2
2
N
T1n1
T2n2
T3n3
1 (1 22
2
2) 1 3 2 2
1 2
2
5
2 2
7 2
Z
z
y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
解：在x=0上，l= 1，m =0，
1x
(x )x=0X (1y) +(Yyx)x=000 = y
(xy)x=0 (1) +(y)x=00 = 0
(x)x=0= y (xy)x=0
在斜边上 l= cos，m = sin
T 2 = (l1)2+( m2)2+( n3)2 • 斜截面上的剪应力是
2 n
=
(l1)2+(
m2)2+(
n3)2－(l21+
m22
+
n23)2
＝l2m2(1－2)2+ m2n2 (2－3)2 + n2l2(3－1)2
当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。
求上式的极值可得最大剪应力
• 约束条件
zx
zy
z
• 主应力性质
（1）主平面相互垂直
（2）极值性
最大剪应力
• 在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T( n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l1e1 + m2e2 + n3e3
x3
1 n
n
2
e3
e1
n e2
T(n) x2
3 x1
• 斜截面上的正应力
n = T( n)•n=l21+ m22 + n23 • 应力矢量的模为
0ij
0
0
0 0
0
0
0
x - 0
sij
yx
zx
ij = sij + 0ij
其中ij是Kronecker符号，定义为
ij = 1，当i＝j
ij = 0，当i≠j，
xy y - 0
zy
xz yzFra bibliotekz0
• 关于静水压力状态
z
任意一个面都是主平面 主应力值均相等 在应力圆上是一个点 静水压力张量是各向同性张量
• 将斜面应力矢量T( n)沿坐标轴方向分解 T( n)＝Txex+Tyey+Tzez
• 斜截面公式 Tx＝xl+yxm+zxn Ty＝xyl+ym+zyn Tz＝xzl+yzm+zn
• 张量表示
Tj = niij
• 求斜截面的各种应力 （1）正应力
n=T(n)•n = Txl + Tym + Tzn
Chauchy公式（斜面应力公式）
• 已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，
由四面体平衡条件导出。
z
C
T(-e x)
T(-e y)
x
ez
ex
ey
n T(n)
y
T(-e z )
• 由微四面体的平衡条件得：
T(n)dS+T(ex)ldS+ T( ey)mdS+ T( ez)ndS +Xdh dS /3=0 T( n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n
称为等倾面
• 等倾面上的应力
8= 1 (1+2+3)
3
8
1 3
(1 2 )2 (2 3 )2 (3 1)2
8
2 3
J
2
1 3
sij
sij
（1）材料质点的平衡， 未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的
（2）材料质点之间的变形必须是协调的， （3）应满足应力与变形关系的方程，
取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。
弹性力学的基本体系
• 基本理论 建立弹性力学的基本方程 从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。 弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。
n＝xl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl
＝ijninj
（2) 剪应力
T (n) Tx2 Ty2 Tz2
n
T (n)
2
2 n
• 确定力边界条件
• 例题
1
ij
0
4
0 4
3
0
0 5
求在
n
1 2
e1
1 2
e2
1 2 e3