椭圆中的离心率
学习目标：掌握常见的求椭圆的离心率的值与范围的方法 一．课前预习：
1. 已知正三角形ＡＢＣ，椭圆以B ，C 为焦点，且过ＡＢ、AC 的中点，椭圆的离心率是 。
2．椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离
等于2
1
∣AF
3．如图，从椭圆上一点P 向x 的一个焦点1F B 的连线与OP 4.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ，P 是椭圆右准线上一点，若线段1PF 的
中垂线经过2F ，则椭圆离心率的取值范围是 。
二．例题解析：
（一）．求离心率的值：
1．椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰
好过焦点，求椭圆的离心率。
2．如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率
3．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的直线l 过椭圆的左焦点F 且交椭圆于A 、B
两点，若AF ＝２BF ，求椭圆的离心率
（二）．求离心率的范围：
１.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1290F PF ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围。
2．椭圆12222=+b
y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b
+2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 求椭圆
离心率e 的取值范围。
三．巩固练习：
１．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率。
2. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是 。
3．设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存
在一点Q ，使∠AQB=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
4．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ，Q 是椭圆右准线与x 轴的交点，P 是
椭圆上一点，若线段PQ 的中垂线经过2F ，则椭圆离心率的取值范围是_________.
一．求离心率的值：
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ，则椭圆的离心率为
3
6 2．已知正三角形ＡＢＣ，椭圆以B ，C 为焦点，且过ＡＢ、AC 的中点，椭圆的离心率是 。
３．椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于
2
1
∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36）
４．椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，
求椭圆的离心率.（
2
1
5-）
５．如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （2
15-）６. 椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>l 过椭圆的左焦点F 且交椭圆于A 、B 两点，若
AF ＝２BF ，求椭圆的离心率
二．求离心率的范围：
１.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1290F PF ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围。
２．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ，P 是椭圆右准线上一点，若线段1PF 的中垂线
经过2F ，求椭圆离心率的取值范围
３．椭圆12222=+b
y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b
+2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 求椭圆离心率e
的取值范围。
（
5
3
55<<e ） 三．巩固练习：
１．已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距
离为
2
a
，求椭圆的离心率.（36）。
２.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-）
３.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）
4．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率。
（
2
2
5．如图，从椭圆上一点P 向X 圆的一个焦点1F ，此时椭圆长轴的一个端点A 端点B 的连线与OP 平行，求椭圆的离心率。
（
2
2
）
6．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围是 。
（
12
1
5<≤-e ） 7．设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，
使∠AQB=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
（
e ≤2
3
<1）. 8．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ，Q 是椭圆右准线与x 轴的交点，P 椭圆上一点，
若线段PQ 的中垂线经过2F ，求椭圆离心率的取值范围。