b

0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：ax22 1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组y成的矩形中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
焦距是： 2 5
焦点坐标是： (0, 5)
。短轴长是： 2
30
.离心率等于： 6 。顶点坐标是：(0, 6)
。 。 (。1, 0)
外切矩形的面积等于： 4 6
。
其标准方程是 x2 y 2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ； 3
x2 100

y2 64

1
或
y2 100

x2 64
．1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
离心率
a、b、c的 关系
e c a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
ec a
a2 b2
b2
1
a2
a2
标准方程 范围
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
（2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．（2）由已知，2a 20 ，e c 3 9 4
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
所以椭圆的标准方程为
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2

y2 b2
3
焦距是： 6
。 离心率等于：5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4。)
外切矩形的面积等于：
80
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：2 6
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
A2 (a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2

x2 b2
1(a
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2

y2 a2
1(a
b

0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。