2020学年第一学期初三年级期末测试卷数学学科试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．气象台预报明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（ ） A ．明天30%的地区不会下雨 B ．明天下雨的可能性较大 C ．明天70%的时间会下雨D ．明天下雨是必然事件3．把二次函数2(1)3y x =--的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A ．2(2)1y x =++ B ．2(2)1y x =-+ C ．2(4)1y x =++D ．2(4)1y x =-+4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）A ．3:2B ．C ．1:D 5．如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于（ ）A ．18B ．20C ．25D ．306．在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（ ）A ．sin 2A =B ．1cos 2A =C ．tan 3A =D ．cos 2A =7．如图，已知O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，30A ∠=︒，则BD 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此商场门前的台阶高出地面1.53米，则斜坡的水平宽度AB 至少需（ ）（精确到0.1米．参考值：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．8.5米B ．8.8米C ．8.3米D ．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm ，宽为8dm ，上下边框的宽度都为dm x ，左右边框的宽度都为dm y ．则符合下列条件的x ，y 的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）A ．x y =B ．32x y =C ．1x =，2y =D ．3x =，2y =10．如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数212y x ex f =++（e ，f 为常数）的图象的顶点分别为A ，B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +．若90ACB ∠=︒，则a 的值为（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-二、填空题（每题5分，共30分）11．如图，已知(4,3)P 为α∠边上一点，则cos α= ．12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 13．已知，点()11,A y -，()20.5,B y -，()34,C y 都在二次函数2(0)21y ax a a x +->=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 ．14．如图，AB 为O 的直径，2AC BC =，M 为BC 的中点，过M 作//MN OC 交AB 于N ，连结BM ，则BMN ∠的度数为 ．15．如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为 ．16．如图1是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法．如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为1S ，2S ，3S ，分别连结AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示1S ，2S ，3S 之间的数量关系为： ；②m = （用含1S ，3S 的代数式表示m ）．图1 图2三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分．17．计算求值：（1）已知34a b =，求a ba-的值； （2）2sin30tan60cos30︒-︒⋅︒．18．如图，在48⨯的网格中，已知格点ABC △（小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形）．在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．图1 图2（1）与ABC △有一公共角；（2）与ABC △相似但不全等．19．某校在防疫期间开设A ，B ，C 三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园． （1）求小丽通过A 通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）． 20．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾衣杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB 和CD 分别是两根长度不等的支撑杆，夹角BOD α∠=，70cm AO =，80cm BO DO ==，40cm CO =．图1 图2（1）若56α=︒，求A 点离地面的高度AE ；（参考值：sin62cos280.88︒=︒≈，sin 28cos620.47︒=︒≈，tan62 1.88︒≈，tan 280.53︒≈．） （2）调节α的大小，使A 离地面高度125cm AE =时，求此时C 点离地面的高度CF ． 21．如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a 米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值； ①15a =；②10a =；（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a 的值． 22．如图，已知，A ，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连结PA ，PB ，分别交O 于点C ，D ，AC BD =．（1）求证：PA PB =；（2）若60P ∠=︒，3CD AC =，AOC △的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(4,0)B ，(1,3)E ，与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，作//PM y 轴交BC 于M ．①求证：PQM COA △∽△； ②求线段PQ 的长度的最大值．24．如图，O 的半径为5，弦6BC =，A 为BC 所对优弧上一动点，ABC △的外角平分线AP 交O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．图1 图2 备用图（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin BAC ∠的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长； （3）若ABC △为非锐角三角形，求PA AE ⋅的最大值．2020学年第一学期期末考试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题三、解答题17．解：（1）设3a k =，4b k = 则34133a bk kak --==- （2）原式1222=⨯- 12=-18．图2答案不唯一，如下四个中的两个即可．图1 图2图3 图419．解：（1）1()3P A =树状图或列表（略）P （不同通道）23=20．解：（1）80cm BO DO ==，56α=︒，62ABE ∴∠=︒在Rt ABE △中，sin AEABE AB∠=， sin 1500.88132(cm)AE AB ABE ∴=⋅∠=⨯=（2）ABE CDF ∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，ABE CDF ∴△∽△，CF CD AE AB ∴=，100(cm)CDCF AE AB∴=⋅=21．解：（1）设养鸡场平行于墙壁的一边长为x 米，养鸡场的面积为S 平方米， 则有242xS x -=⋅ 21(12)722S x =--+①15a =，015x ∴<≤∴当12x =时，养鸡场的面积最大为72S =平方米；②10a =，010x ∴<≤∴当10x =时，养鸡场的面积最大为70S =平方米；（2）67.572<，12a ∴<∴当x a =时， 67.5S =最大，2467.52aa -∴⋅=， 解得19a =，115a =（不合，舍去）9a ∴=22．解：（1）AC BD =，AC CD BD CD ∴+=+， AD BC ∴=，A B ∴∠=∠，PA PB ∴=．（2）60P ∠=︒，由（1）知PAB △为等边三角形，60A ∴∠=︒，3CD AC = 30AC ∴=︒，连OA ，OC ，A 作AH OC ⊥于E ，12AE OA ∴=， 设O 的半径为r ，AOC △的面积等于9，2194r ∴=，6r ∴=， 39OAC OAC S S S π∴=-=-△阴影扇形23．解：（1）设二次函数表达式为(1)(4)y a x x =+-， 图象过点(1,3)E ，36∴=-，得12a =-∴该二次函数表达式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．（2）(0,2)C ，2225AC OA OC ∴=+=，22220BC OB OC =+=，225AB =， 222AB AC BC ∴=+，90ACB ∠=︒，ABC ∴△为直角三角形．（3）①证明：//PQ AC ，90PQB ACB AOC ∴∠=∠=∠=︒，//PM y 轴，PMQ OCB CAO ∴∠=∠=∠，PQM COA ∴△∽△．②直线BC 的函数表达式为122y x =-+，由①得：5PQ OC PM AC ==，5PQ PM ∴= 设P 的坐标为213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212552PQ PM m m ⎫∴==-+⎪⎝⎭2(2)55m =--+∴当2m =时，线段PQ ．24．（1）①证明：四边形APBC 内接于O ，180PAC PBC ∴∠+∠=︒，180PAF PAC ∠+∠=︒， PAF PBC ∴∠=∠，AP 是ABC △的外角平分线，PAB PBC ∴∠=∠， BP CP ∴=，即点P 为BAC 的中点； ②连结BO 并延长交O 于M ，连结MC ，O 的半径为5，10BM ∴=，90BCM ∠=︒，6BC =，3sin 5BC BMC BM ∴∠==， BMC BAC ∠=∠，3sin 5BAC ∴∠=．图1（2）连结PC ，由（1）得PBC PCB ∠=∠，若点A 为PC 的中点，PBA ABC ∴∠=∠，设PBA α∠=2PAF PAB α∴∠=∠=，2PCB α∴∠=，CPA ABC α∠=∠=，E α∴∠=，E CPA ∴∠=∠，CE CP PB ∴==，过P 作PH BC ⊥于H ，连结OB ，由对称性可知PH 过点O ， 3BH HC ∴==，5OB =，4OH ∴=，9PH ∴=，CE CP PB ∴===图2（3）过C 作CQ AB ⊥于Q ，ACE P ∠=∠，CAE PAB ∠=∠，ACE APB ∴△∽△，PA AB AC AE∴=，PA AE AB AC ∴⋅=⋅， sin CQ BAC CA ∠=，3sin 5CQ CA BAC CA =⋅∠=， 13210ABC S AB CQ AB AC ∴=⋅=⋅△， 103ABC PA AE AB AC S ∴⋅=⋅=△ 当点A 运动到使ABC △为直角三角形时，ABC S △最大为24， 所以PA AE ⋅最大为80．备用图。