1.3.2 奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝02．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝ －f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)3．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a ∈R ，函数f (x )为奇函数D ．存在a ∈R ，函数f (x )为偶函数 4．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是 增函数，又f (2)＝0，则()()f x f x x--的解集为( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 5.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，f （x ）是增函数，则(2)()(3)f f f -π-，，的大小关系是（ ）A ．f (π)>f (3) >f (2)B ．f (π)>f (2)>f (3)C ．f (π)<f (3)<f (2)D ．f (π)<f (2)<f (3)二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分) 6.若函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，并且0>x 时，12)(3+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = .7.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________. 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10.（14分）判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋2|－211．（15分）设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证：f （x ）是偶函数.12．（17分）已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围一、选择题1.A 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴ a －1＝2a ，∴ 31=a ．故选A ． 2.D 解析：∵ f (x －4)＝－f (x )，∴ T ＝8.又f (x )是R 上的奇函数，∴ f (0)＝0. ∵ f (x )在[0,2]上是增函数，∴ f (x )在[0,2]上恒大于等于0.又f (x )是奇函数，∴ f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )在[2,0]上恒小于等于0.. 易知x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4,6]上为减函数且f (x )≤0.如图．∵ f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴ f (－25)＜f (80)＜f (11)． 3.C 解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，A 错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，B 错；D 选项中的a 不存在．4.A 解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝0，所以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x )<0.<0，即<0，可知－2<x <0或0<x <2.5.A 解析：因为()f x 是偶函数,所以()()()()22,33.f f f f -=-=因为当[0,)x ∈+∞时是增函数,所以()()()()()()23,23f f f f f f <<-<-<所以ππ.二、填空题 6.321x x -- 解析：当<x 时，x ->，()()()()332121f x f x x x x x ⎡⎤=--=----+=--⎣⎦.7. 0 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴ f （－x ）＝f （x ），即(m －1)(－x )2＋2m （－x ）＋3＝（m 1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．8.－1 解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (x )为奇函数，所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ). 当<0时,f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去)． 当0时,即,无解.9.－0.5 解析：由f (x ＋2)＝－，得f (x ＋4)＝－＝f (x )，故f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)． 而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴ f (1.5)＝－0.5. 故f (6.5)＝－0.5. 三、解答题10.解： (1)函数的定义域为{x |x ≠－1，}，不关于原点对称， ∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥≥得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴ f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴ f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴ f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．11.证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1，则f （1）＝2f （1），∴ f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，则 f ［－1×（－1）］＝2f （）＝0， ∴ （－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴ f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．12.解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]童年时，家是一声呼唤。

那时的我似乎比今日的孩子拥有更多的自由。

放学后，不会先在父母前露面，而是与左右相邻的小朋友聚在一起，天马行空，玩的天昏地暗，直至街上的人散去，听见焦急的父母在四处：“回家了，吃饭了。

” 这样的声音伴着我的童年，月复一月，迄今仍在我的耳畔回响。

我常常在思考“家”究竟是什么？有人说：家是酝酿爱与幸福的酒坊，是盛满温馨和感动等待品味的酒杯。

是在疲惫时回到家后爱人真情的拥抱，是彼此相守默默注视的目光…… 还有人说：家是风雨中的一间小屋，家是大雪天里的一杯热酒，家是一次次失败后的鼓励……家是忙碌奔波疲惫时。

最想回去好好休息的温床。

家是在外面受委屈回来后，可以痛痛快快哭一场而没人笑你软弱的地方。

家是日行千里夜走八百后。

离你最远却始终与你记忆最近的画面。

无论你的人生是如何的辉煌或者是落魄。

家。

永远是你最牵挂的地方。

太平时，家是一座博物馆，又是一个加油站。

家里的一本书一封信一帧照片，都可以引出一段属于你们家的故事，流传天南与地北；一把茶壶一顶帽子一把椅子，都储存着家的文化传统和信息，绵延一代又一代。

家，一个多么温馨的港湾，承载了多少人的梦。

烦恼的时候，想到它，豁然开朗；忧郁的时候，想到它，微微一笑；沉闷的时候，想到它，如释重负。

家，简简单单的一个字，却包含了太多，只有亲情才是无法泯灭的永恒。

自古以来，无数诗人咏唱过游子的思家之情。

“渔灯暗，客梦回，一声声滴人心碎。

孤舟五更家万里，是离人几行情泪。

”家是游子梦魂萦绕的永远的岸。