B
T
= (b ji )n × s A = (a ji )s × m
要证c ji= d ij
c ji = a j1b1i + a j 2 b2 i + L + a js bsi d ij = b1i a j1 + b2 i a j 2 + L + bsi a js
也就是
c ji = d ij
T
( AB ) = B A
第二节 矩阵的转置
矩阵A=(aij)n×n的行列互换所得的矩 矩阵 × 阵称为A的转置 记为A’或 的转置,记为 阵称为 的转置 记为 或AT
定义7 定义
AT=
例1: A = 1 2 2 , 4 5 8
1 4 T A = 2 5 ; 2 8
T
1 2 1 = 1 1 1 1 1 3
X = ( x1 , x2 ,L, xn ) 满足 X T X = 1, 例5 设列矩阵 E为n阶单位矩阵 , H = E − 2 XX T , 证明H是对称矩
T
证明 Q H = (E − 2 XX
T
阵, 且HH T = E .
T
⇒ AB = BA T T T 又( AB ) = B A = BA
T T
∴ ( AB ) = B A = BA = AB ⇒ AB为对称阵。 cos ϕ − sin ϕ 补充：求矩阵的幂 补充： A= sin ϕ cos ϕ n A =?
cos ϕ − sin ϕ cos ϕ − sin ϕ A = sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos 2 ϕ − sin 2 ϕ − 2 sin ϕ cos ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ cos 2 ϕ − sin 2 ϕ cos 2ϕ − sin 2ϕ = sin 2ϕ cos 2ϕ cos(n − 1)ϕ − sin(n − 1)ϕ n −1 设A = sin(n − 1)ϕ cos(n − 1)ϕ
1 7 − 1 0 17 2 0 − 1 T Q AB = 4 2 3 ∴( AB) = 14 13. 1 3 2 − 3 10 2 0 1 0 14 − 3 = , 17 13 10
先转置后再乘起来（顺序要改变）： 先转置后再乘起来（顺序要改变）：
课后 对于任意的 n阶矩阵 A.证明 : 思考 (1) A + A T 是对称矩阵 , A − A T 是反对称矩阵 .
(2 )
A可表示为对称矩阵和反 对称矩阵之和 .
什么时 候仍然 是对称 的呢？
注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
0 1 0 1 1 1 例如 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 3
( AB ) = BT AT
T
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3 = 14 13. − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
对称阵:设
A 为 n 阶方阵，如果满足 A = AT ，即 阶方阵，
例6： ： A = a ij
T
( )3× 3 为 3阶 实 矩阵，
T T
A ≠ 0 .求证 : .
AA 为对称阵且不是零矩阵
证： AA
(
)
= ( AT )T AT = AAT
AAT 的i行j列元素为： aik a jk
i =1
∑
3
AAT 的主对角线上的元素为： aik aki =
2 2 2 b1 = a11 + a12 + a13 2 2 2 b2 = a 21 + a 22 + a 23 2 2 2 b3 = a31 + a32 + a33
∑
i =1
Hale Waihona Puke 3∑i =1
3
aik 2
aij ∈ R, 对角线三个元素中 至少有一个不为零。得证
思考解答
设矩阵A与 为同阶对称阵 证明AB是对称 为同阶对称阵， 设矩阵 与B为同阶对称阵，证明 是对称 阵的充要条件为AB=BA. 阵的充要条件为 证：⇒: Q ( AB) T = AB
⇐: Q AB = BA
T
(3) (kA)
T
= kA ;
T
BTAT的i 行j 列元素是： 列元素是： BT的第 行×AT的第j列= 的第i行 的第i （B的第 列）T×（A的第j 行）T
A = (a ij )m × s
T T
B = (b ij )s × n C = AB = (c ij )m × n
T
B A = ( d ij ) n×m
2
则An = An −1 A = cos(n − 1)ϕ sin(n − 1)ϕ − sin(n − 1)ϕ cos ϕ sin ϕ cos(n − 1)ϕ − sin ϕ cos ϕ
cos nϕ = sin nϕ cos nϕ n ∴A = sin nϕ
18 B = . 6 转置矩阵满足的运算规律： 转置矩阵满足的运算规律：
B = (18 6),
（AB）T的i 行 ） j 列元素是： 列元素是： A的第 行×B 的第j行 的第 的第i 的第 列
(1) ( A ) = A;
T T
T T
(4) ( AB ) = B A .
T T T
(2 ) ( A + B ) = A + B ;
称为对称阵. A称为对称阵
那末
aij = a ji (i , j = 1,2,L, n )
12 6 1 例如 A = 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. T 如果 A = − A 则矩阵 A称为反对称的 .
− sin nϕ cos nϕ
− sin nϕ cos nϕ
思考解答
任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 与反对称阵之和 证明
T
设C = A + A
T T
T
则C = ( A + A
设B = A − A ,
T
)=A
T
+ A = C,
T T
所以C为对称矩阵 所以 为对称矩阵. 为对称矩阵
A是对称矩阵
⇔ ⇔
AT = A AT = − A
T
例3:
A是反对称矩阵
T
设 B m× n , 则 B B 和 BB
都是对称矩阵 .
例4： ：
An×n , AT = − A, Bn×n , B T = B
则AB + BA是n阶反对称矩阵.
T 证：（AB + BA） = B T AT + AT B T = − BA − AB = −( AB + BA).
T T
T
( ABC ) = C B A
T T T
T
a11 Λ T O Λ = =? a nn
例2
已知
直接计算后再转置： 直接计算后再转置：
1 7 − 1 T 2 0 − 1 A= , B = 4 2 3 , 求 ( AB ) . 1 3 2 2 0 1
= E − 2( XX = E − 2 XX T = H ,
T T
T T 2
)
T T
)
∴ H是对称矩阵 .
HH = H
T 2
= E − 4 XXT + 4( XXT )( XXT
= E − 4XXT + 4XXT = E .
= (E − 2 XX
) ) = E − 4XX
T
+ 4 X ( X T X )X T
则B = ( A − A
T
)
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵 所以 为反对称矩阵. 为反对称矩阵
A + AT A − AT C B A= + = + , 2 2 2 2
命题得证. 命题得证