ba a b
x 1 22
12 2
a a a a 1
11 22
12 21
x2
a11b2 aa
b1a21 a a
11 22 12 21
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x
1
b1a 22 a11a 22
a12b2 a12a21
x
2
a11b2 a11a 22
D2 D
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
解
3 2
因为 D
3 ( 4 ) 7 0
21
122
D
12 (2)14
1 11
3 12
D2 2
32421 1
所以
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
213 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
第一章 行列式
内容提要
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列和对换 §3 n 阶行列式的定义
行列式的概念.
§4 行列式的性质 §5 行列式按行（列）展开
行列式的计算.
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
b1 b2
由消元法，得
( a 1 a 2 1 2 a 1 a 2 2 ) x 1 1 b 1 a 2 2 a 1 b 2 2
( a 1 a 2 1 2 a 1 a 2 2 ) x 1 2 a 1 b 2 1 b 1 a 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21Βιβλιοθήκη b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21
引进记号
a 31 a 32 a 33
原则：横行竖列
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
线性代数（第六版）
同济大学数学系.线性代数[M]. 第六版.北京：高等教育出版社，
2014.
课程简介：
“线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内 容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方 程组中的应用。
通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性 代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业 学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力 、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问 题的能力。
b1a 21 a12a 21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a 11 a 12 数表 a 2 1 a 2 2
a 11 a12 记号 a 2 1 a 2 2
表达式 a11a22称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
Da11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
练习1：
利用对角线法则计算下列三阶行列式：
x
y x y
y x y x
x y x
y
2(x3 y3)
§2 全排列及其对换
1 2 -4
例2 计算行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 3 4 2 8 24 1.4
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
主要内容： 一、排列及其逆序数 二、对换的定义 三、对换与排列奇偶性的关系
一、排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x
1
b1a 22 a11a 22
a12b2 a12a21
x
2
a11b2 a11a 22
其中，aij(i1,2;j1,2)称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
aa1211xx11