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课件:线性代数第一章

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此排列为偶排列.
2 nn 1n 2 321
解 n1
nn 1n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列;
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k12k 122k 232k 3 k 1k
3、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列 改变奇偶性. 证明 设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al bbaa b1 bm
除a ,b 外,其它元素的逆序数不改变.
当a b时, 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当a b时, 经对换后 a 的逆序数不变 ,b的逆序数减少1.
(5)
a21 a22

D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11
a12
a12
a22
2、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)

a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2 ,
2
当 k 为偶数时,排列为偶排列,
当 k 为奇数时,排列为奇排列.
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
4 6 32 4 8 24 14.
二、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
方法
分别计算出排在1,2, ,n 1,n前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2, ,n 1,n 这 n个元素
的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354

217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
§4、对换的定义
定义 在排列中,将任意两个元素对调,其余 元素不动,这种作出新排列的手续叫做 对换. 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
例如
a1 al a bb b1 bm a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al bbaa b1 bm a1 al b b1 bm aa c1 cn
n 个不同的元素的所有排列的种数,通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中,若数
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性.
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
§2、 数码的排列
• 概念引入 • 全排列及其逆序数 • 小结 思考题
1、全排列及Βιβλιοθήκη 逆序数问题 把 n 个不同的元素排成一列,共有几种不 同的排法?
定义 把 n个不同的元素排成一列,叫做这 n 个
元素的全排列(或排列).
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
1 2 -4 例 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则,有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中, 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例如 排列32514 中,
此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
第一章 行列式
§2 二阶与三阶行列式
• 二阶行列式引入 • 三阶行列式 • 小结 思考题
一、二阶、三阶行列式
1、二阶行列式
定义 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排
称列)的数表 a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表(4)所确定的二阶
行列式,并记作 a11 a12
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