• 2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和 解析法，三者之间是可以互相转化的；求函 数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法 、待定系数法和方程法等，特别要注意将实 际问题转化为函数问题，通过设自变量，写 出函数的解析式并明确定义域．
• 教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【 典 例 】 (2013·新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
【 训 练 2 】 (2014·烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2cos
π3x，x≤2 000，
则 f[f(2 013)]＝
2x－2 008，x＞2 000，
( )．
A. 3 C．1
B．－ 3 D．－1
解析 f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以 f[f(2 013)]＝f(32)＝ 2cos 323π＝2cos 23π＝－1.
0，则实数 a 的值等于
( )．
A．－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3 或 1
•解析 因为f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0 得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
•当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实 数a的值为a＝1或a＝－3，选D.
4．函数解析式的求法
(7)已知 f(x)＝2x2＋x－1，则 f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
(×)
• [感悟·提升]
• 1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数 ．一是定义域是否相同，二是对应关系即解 析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如 (2)．
• 2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出 解析式的各个部分都有意义，如(3)；
• 二是分段函数求值时，一定要分段讨论， 注意验证结果是否在自变量的取值范围内， 如(6)；
• 三是用换元法求函数解析式时，一定要注
• 考点一 求函数的定义域与值域
【例 1】 (1)(2013·山东卷)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为
值范定围义域A叫做函数的
；与x的值相对应
的y值叫做值函域 数值，函数值的集合叫做函数的
．
定义域
值域
•(3)函数的三要素是：解析法 关系．
列表、法
和对应
•(4)表示函数的常用方法有：
、
和图象法．
•(5)分段函数
•若 函 数 在 其 定 义 域 的 不对应同关系子 集 上 ， 因
不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
• 以x为自变量的函数的图象为②④. (√)
• (2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．
2．函数的定义域、值域的求法 (3)(2013·江西卷改编)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)
(4)(2014·杭州月考改编)函数 f(x)＝1＋1 x2的值域为(0,1]． (√)
3．分段函数求值
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 ．
•(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
•此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
•f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－32. 不合题意，舍去．当 a＜0 时，1－a＞1,1＋a＜1， 此时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. 答案 (1)B (2)－34
实际问题
使实际问题有意义
• 3．函数值域的求法
方法
示例
示例答案
配方法 性质法
y＝x2＋x－2 y＝ex
y∈－94，＋∞ y∈ (0，＋∞)
单调性法
y＝x＋ x－2 y∈ [2，＋∞)
换元法 分离常数法
y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 34，3
y＝x＋x 1
y∈(－∞，1)∪
(1，＋∞)
•辨 析 感 悟 • 1．对函数概念的理解． • (1)(教材习题改编)如图： •
【训练 1】 (1)函数 y＝ln1＋1x＋ 1－x2的定义域为________． (2)函数 f(x)＝l2oxg，12xx，＜x1≥1， 的值域为________．
解析
(1)根据题意可知，1x≠＋01x，＞0， 1－x2≥0
⇒x＋x 1＞0， ⇒0 －1≤x≤1
＜x≤1，故定义域为(0,1]．
二审条件❷：|f(x)|≥ax，由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．
(2)
•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
•即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥ －2.
－x2＋2x，x≤0， lnx＋1，x＞0.
❶若|f(x)|≥ax❷，则 a 的取值范围是
( )．
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
[审题]一审条件❶：f(x)＝－ lnxx2＋＋12x，，xx＞≤00，， 转化为一元二次函数 与对数函数的图象问题．如图(1)．
(1)
• 第1讲 函数的概念及其表示
• [最新考纲]
• 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数 的定义域和值域，了解映射的概念．
• 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰 当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数．
• 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
•知 识 梳 理
• 1．函数的基本概念
x2＋1，x≤1，
(5)(2013·济南模拟改编)设函数 f(x)＝2x，x＞1，
则 f(f(3))
＝193.
(√)
(6)(2014·浙 江 部 分 重 点 中 学 调 研 改 编 ) 函 数 f(x) ＝
x2－x＋34，x≥0， 2x＋1，x＜0
若 f(a)＝12，则实数 a 的值为12或－2. (√)
(3)方程法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条 件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
• 【 训 练 3】 (1) 若 f(x ＋ 1) ＝ 2x2 ＋ 1 ， 则 f(x) ＝
________.
• (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x) ．解析若 当(1)令0≤t＝xx≤＋11，时则 ，x＝ft－(x1)，＝ x(1 － x) ， 则 当 － 1所≤以xf≤(t)＝0时2(t－，1)f2(＋x)1＝＝2_t_2－__4t_＋_3_. _.
所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
• 答案 (1)A (2){y|y≠1}
•规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式 组，然后求出它们的解集即可．
•(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式 ，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数 法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当 函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．
•答案 D
(2)当 x≥1 时，log1x≤0；当 x＜1 时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－
2
∞，0]＝(－∞，2)．
• 答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)
• 考点二 分段函数及其应用
【例 2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)
＝lfoxg－241－－xf，x－x≤20，x＞0 ，则 f(3)的值为
( )．
A．－1
B．－2
C．1
D．2
(2)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a， 2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1
＋a)，则 a 的值为________．
•解析 (1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3 －2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－ f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝ －f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0) ＝－2.
数称为分段函数．
并集
•分段函数的定并义集 域等于各段函数的定义域的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
2n fx，n∈N*
f(x)≥0
f1x与[af(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
( )．
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0，
解 (1)令2x＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x＞1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又 f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2 ＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴44aa＝ ＋42， b＝2， ∴ab＝ ＝1－，1， ∴f(x)＝x2－x＋3.