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第3章 光的衍射 其中Min(r,l)表示r, l中较小的一个。为了应用基尔霍夫积分定理 求P点的光场，围绕P点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组 成：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以P点为中心、R为半 径的大球的部分球面Σ2。在这种情况下，P点的光场复振幅为
(3.1 - 12)
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第3章 光的衍射
3
第3章 光的衍射
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第3章 光的衍射
5
第3章 光的衍射
图 3-2 惠更斯原理
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第3章 光的衍射 利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定 的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发 出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻 挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。 根据惠更斯—菲涅耳原理， 图 3-3 所示的一个单色光源 S 对于空间任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面Σ上各 点发出的次波在P点相干叠加的结果。假设Σ波面上任意点Q的 光场复振幅为 E~(Q)，在Q点取一个面元dσ，则σ面元上的次波源 对P点光场的贡献为
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第3章 光的衍射
图 3 - 8 衍射现象的演变
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第3章 光的衍射 若距离再远些，例如在K2面上观察时，将看到一个边缘 模糊的稍微大些的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时 已不能看做是圆孔的投影了。随着观察平面距离的增大，光 斑范围不断扩大，但光斑中圆环数逐渐减少，而且环纹中心 表现出从亮到暗，又从暗到亮的变化。当观察平面距离很远 时，如在K4位置，将看到一个较大的中间亮、边缘暗，且 在边缘外有较弱的亮、暗圆环的光斑。此后，观察距离再增 大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。
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第3章 光的衍射
在上面的讨论中， 我们假定了光从光源到P点除有衍射 屏外，没有遇到其它任何面， 且入射光波是球面波。 将这种 讨论推广到光波为更复杂形状的情况， 结果发现， 只要波阵 面各点的曲率半径比波长大得多， 所包含的角度足够小， 则 基尔霍夫理论的结果与惠更斯—菲涅耳原理推断的结果仍大 体相同。
和
可表E~示1(成P)对Σ1E~和2 (ΣP2)开孔部分的积分，而两个屏的开孔部分加
起来正好是整个平面， 因此，
E 0 (P ) E 1 (P ) E 2 (P ) (3.1-17)
这个结论就是巴俾涅原理。该式说明，两个互补屏在衍射场
中某点单独产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由
传播时在该点产生的光场复振幅。因为光波自由传播时，光
间。如果一平行光垂直入射到Σ上， 则cos(n,l)=-1, cos (n,r)
=cosθ，因而Leabharlann K() 1cos2
(3.1 - 16)
当θ=0时，K(θ)=1, 这表明在波面法线方向上的次波贡献最大; 当
θ=π时，K(θ)=0。 这一结论说明, 菲涅耳在关于次波贡献的研究
中假设K(π/2)=0 是不正确的。
上的光分布除了O点源像点附近外，其它各处强度皆为零。
这时，如果把互补屏放在物与像之间，则除O点附近以外，
均有I1=I2。
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第3章 光的衍射 3. 基尔霍夫衍射公式的近似 1) 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学 系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，图 3-7 所示的 开孔Σ的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的 距离，因此， ① cos(n,r)≈1, 于是K(θ)≈1； ② r≈z1。 这样， (3.1 - 15)可以简化为
n
r
r r
对于Σε面上的点，cos(n,r) =-1, r=ε, 所以，
G~1ikeikr n r r
因此
16
故有
第3章 光的衍射 (3.1 - 11)
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围 任一闭合曲面Σ上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更 斯—菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。
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第3章 光的衍射 2. 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近 似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。 如图 3-5 所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一 开孔Σ， 用点光源S照明，并设Σ的线度δ满足
λ<δ<<Min(r,l)
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第3章 光的衍射
图 3-5 球面波在孔径Σ上的衍射
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第3章 光的衍射
因此，如果将积分面元dσ视为次波源的话，(3.1-15)式可解释为：
① P点的光场是Σ上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与
入射波在该点的复振幅
E~成(Q正)比，与波长λ成反比； ②因子
(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波π/2； ③ 倾斜因子
K(θ)表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在0与1之
如果作积分
QG ~E n~E ~G n~d
(3.1 - 7)
其中，/n表示在Σ上每一点沿向外法线方向的偏微商，则由格
林定理，有
式中，V是Σ面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被 积函数在V内处处为零， 因而
(G ~ 2E ~E ~ 2G ~)dV 0
V
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第3章 光的衍射
根据 G~所满足的条件，可以选取 G~为球面波的波函数：
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3.1.3 基尔霍夫衍射公式
第3章 光的衍射
1.
假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播(图3-4)，在t时刻、 空间P点处的光电场为
(3.1-3)
若P是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：
2Ec12
2E t
0
(3.1-4)
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第3章 光的衍射
图 3-4 积分曲面
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第3章 光的衍射
将(3.1 - 3)式代入，可得
进一步考察菲涅耳—基尔霍夫衍射公式可以得出： ① 该式对于光源和观察点是对称的，这意味看S点源在P 点产生的效果，与在P点放置同样强度的点源在S点产生的效 果相同。有时，称这个结论为亥姆霍兹互易定理(或可逆定理)。 ② 由基尔霍夫衍射公式的讨论， 可以得到关于互补屏的 衍射光分布——巴俾涅(Babinet)原理。
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因此，在Σ2上的积分为
第3章 光的衍射
式 中 ， Ω 是 Σ2 对 P 点 所 张 的 立 体 角 ， dω 是 立 体 角 元 。 索 末 菲 (Sommerfeld)指出，在辐射场中，
Rli m En~ikE~R0
(索末菲辐射条件)，而当R→∞时， (eikR/R)R是有界的，所以上 面的积分在R→∞时(球面半径R取得足够大)为零。
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第3章 光的衍射
若两个衍射屏Σ1和Σ2中，一个屏的开孔部分正好与另一
个屏的不透明部分对应，反之亦然，这样一对衍射屏称为互
补屏，如图3-6所示。 设 E~1(P和)
~ E2
(P分) 别表示Σ1和Σ2单独
放在光源和观察屏之间时，观察屏上P点的光场复振幅，
表示E~无0(衍P)射屏时P点的光场复振幅。 根据上述讨论，
场复振幅容易计算，所以利用巴俾涅原理可以方便地由一种
衍射屏的衍射光场，求出其互补28衍射屏产生的衍射光场。
第3章 光的衍射
图3-6 互补衍射屏
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第3章 光的衍射
由巴俾涅原理立即可以得到如下两个结论：
①
若
~ E1(P)
＝0， 则 E ~2(P)＝ E ~0(P)。因此，放置一个屏时，相应于光场
为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场与没有屏时一样；
第3章 光的衍射
第3章 光 的 衍 射
3.1 衍射的基本理论 3.2 夫朗和费衍射 3.3 菲涅耳衍射 3.4 光栅和波带片 3.5 全息照相 3.6 傅里叶光学、 二元光学、 近场光学基础简介 例题
1
第3章 光的衍射
3.1 衍射的基本理论
3.1.１ 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的
G~ e ikr r
(3.1 - 8)
这个函数除了在r=0 点外，处处解析。因此，(3.1-7)式中的Σ应 选取图 3-4 所示的复合曲面Σ+Σε，其中Σε是包围P点、半径为 小量ε的球面，该积分为
(3 .1- 9)
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第3章 光的衍射
由(3.1 - 8)式， 有
G ~ co n ,r)s G ~ ( co n ,r)s 1 ( i k e ikr (3.1 - 10)
下面确定这三个面上的 E ~和 E ~/n。
对于Σ和Σ1面，
① 在Σ上， E ~和 E ~/n的值由入射波决定，与不存在屏
时的值完全相同。 因此
(3.1 - 13)
(3.1 - 14)
式中，A是离点光源单位距离处的振幅，cos(n,l)表示外向法线n 与从S到Σ上某点Q的矢量l之间夹角的余弦。
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第3章 光的衍射 ② 在不透明屏的背照面Σ1上，E=0, E ~/n0。 通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两 个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰Σ处的场，特别 是开孔边缘附近的场。在Σ1上，光场值也并非处处绝对为零。 但是严格的衍射理论表明，在上述开孔线度的限制下，误差并 不大， 作为近似理论处理，仍然可以采用这种假定。 对于Σ2面，r=R, cos(n,R)=1, 且有
2 E ~ (P ) k 2 E ~ (P ) 0 (3.1 - 5)
式中, k=ω/c，该式即为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。
现在假设有另一个任意复函数G~，它也满足亥姆霍兹方程
2G ~k2G ~0
(3.1 - 6)
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第3章 光的衍射
且在Σ面内和Σ面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。
②若
E~＝1(P0,)则
E ~1(P)＝E ~ 。－ 2(P 这)就意味着在
~ E0 (P)