[答案] yzi(t) 2e2t te2t, t 0
yzs (t) (2 8te2t 2e2t )u(t)
y(t) 2 4e2t 7te2t , t 0
系统响应的复频域分析
[练习3] d2 y(t) 4 dy(t) 8y(t) 3 dx(t) x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t)，y(0) =5，y' (0) =3，求y(t)。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为
y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
已知 x(t) etu(t) ，y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解：
[答案]
yzi
yzs
(t)
(t)

5e2t cos(2t) 13
0.4et
0.4e
2
2t
e2t sin(2t),
cos(2t) 1.
t
7e 2t
0
sin(2t)
u
(t
)
y(t) 0.4et 5.4e2t cos(2t) 8.2e2t sin(2t), t 0
系统响应的复频域分析
IR(s) R
已知 x(t) etu(t)， y(0 ) 1, y '(0) 1 ，由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。 (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)，并判断系统是否稳定
。
(3)画出系统的直接型模拟框图。
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
s
8 3
y (t) L 1{Y (s)} 11e2t 8e3t, t 0
zi
zi
系统响应的复频域分析
Yzs
(s)
s2
2s 8 5s
6
s
1 1
2s 8 (s 2)(s
3)
s
1 1
3 4 1 s 1 s 2 s 3
yzs(t) L 1{Yzs(s)} (3et 4e2t e3t ) u(t)
t
2t
3t
y(t) yzi (t) yzs (t) 3e 7e 7e ,t 0
系统响应的复频域分析
[练习1] d2 y(t) 7 dy(t) 12 y(t) x(t)
dt2
dt
已知 x(t) = u(t)，y(0) =1，y' (0) =2，求y(t)。
[答案]
3t
4t
yzi (t) 6e 5e ,t 0
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
系统响应的复频域分析
时域微分方程
单 边 拉 氏 变 换
s域代数方程
解微分方程 解代数方程
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
s域响应Y(s)
系统响应的复频域分析
例：二阶系统响应的s 域求解
d2 y(t) 5 dy(t) 6 y(t) 2 dx(t) 8x(t)
Y(s) sy(0) y '(0 ) 7 y(0) 2s 3 X (s)
s2 7s 10
s2 7s 10
零输入响应的复频域表达式为
s8
2 1
Yzi(s)
s2 7s 10 s 2 s 5
进行单边拉普拉斯反变换可得
y (t) L zi
1{Y (s)} 2e2t e5t ,t 0 zs
(1 et 4
1 e2t 3
7 e5t )u(t) 12
Y (s)
sy(0 ) y '(0 ) 7 y(0 ) s2 7s 10
s2
2s 3 7s 10
X (s)
零状态响应的复频域表达式为
Yzs
(s)
(s2
2s 3 7s 10)(s
1)
1/ 4 s 1
1/ 3 s2
12 s
/7 5
进行拉普拉斯反变换可得
yzs (t) L
1{Yzs (s)}
sC
ss
R
求出回路电流 I (s) 2E s(R 1 ) sC
E s
I(s)
1/sC
E /s
VC(s)
电容电压为 VC (s)
1t
vC (t) E(1 2e RC
I(s) E sC s
), t 0
E( 1 s
s
2 1
RC
)
综合题：描述某连续时间LTI因果系统的微分方程为 y"(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = etu(t) ，y(0) =3 ，y' (0) =2 ，求y(t)。
求解步骤：
☼ 由拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程 ☼ 求解s域代数方程，求出Yzi(s), Yzs(s) ☼ 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
系统响应的复频域分析
y"(t)
[s2Y (s) sy(0 ) y'(0 )] 2sX (s) 8X (s)
已知 x(t) etu(t) ， y(0 ) 1, y'(0 ) 1 ,由复频域求解： (1)零输入响应 yzi(t)，零状态响应 yzs(t) ，完全响应 y (t) 。
解： (1) 对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换得
s2Y (s) sy(0 ) y' (0 ) 7sY(s) 7 y(0 ) 10Y(s) (2s 3)X (s)
5y'(t)
6y (t)
5[sY (s) y(0 )] 6Y(s)
2x '(t) 8x(t)
sy(0 ) y '(0 ) 5y(0 ) 2s 8
Y(s)
s2 5s 6
X (s)
s2 5s 6
Yzi(s)
Yzs(s)
系统响应的复频域分析
Yzi (s)
3s s2
17 5s 6
11 s2
yzs
(t)
(1 12
1 3
e3t
1 e4t 4
)u(t)
y(t) 1 17 e3t 19 e4t ,t 0
12 3
4
系统响应的复频域分析
[练习2] d2 y(t) 4 dy(t) 4 y(t) 3 dx(t) +2x(t)
dt2
dt
dt
已知 x(t) = 4u(t)，y(0) =2，y' (0) =3，求y(t)。
VR(s)
R、L、C复频域模型
IL(s)
sL
LiL (0)
VL(s)
1 IC(s) sC
1 s
vC(0
)
VC(s)
例：图示电路初始状态为vC(0)= E, 求电容两端电压vC(t)。
R
解：建立电路的复频域模型
Eu(t)
i(t)
由复频域模型写回路方程 (R 1 )I (s) E E
C
vC(t)