立体几何练习1. 如图：梯形ABCD 和正△ PAB 所在平面互相垂直，其中1AD =CDAB ，且0为AB 中点• 2(I )求证：BC//平面POD ； (II )求证：AC _ PD •2. 如图，菱形ABCD 的边长为6， BAD =60：, AC" BD = O •将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥 B-ACD ,点M 是棱BC 的中点，DM =3、、2.(I)求证：OM //平面ABD ； (□)求证：平面 ABC -平面MDO ；(川)求三棱锥CBDAB // DC,B3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC, ZADC=90 °1 BC=-^AD, PA=PD, Q 为AD 的中点.2(I )求证：AD丄平面PBQ;(□)若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA//平面BMQ.4. 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.(I)求证：PC //平面BDE ;(□)求证：平面PAC —平面BDE .C7.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面PAD 丄平面ABCD , AB=AD , Z BAD=60 °,E 、F 分别是 AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ;（2）平面BEF 丄平面PAD.5.已知直三棱柱ABC 「A i B i C i 的所有棱长都相等，且 中点•⑴求证：平面B i FC//平面EAD ; （II ）求证：BG —平面EAD . D,E,F 分别为 BC, BB i , AA i 的6.如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 .ADE =90、,AF // DE , DE 二 DA 二 2AF (I )求证: AC _ 平面 BDE ； （n ）求证: AC // 平面 BEF ； （川）求四面体 BDEF 的体积. CB18.如图，四边形ABCD为正方形，QA丄平面ABCD, PD// QA, QA=AB=—PD.2(I)证明：PQ丄平面DCQ(II )求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.9.如图，在△ ABC中，/ABC=45。

，启AC=90 °,AD是BC上的高，沿AD把A ABD折起，使/ BDC=90 °。

(1)证明：平面ADBX平面BDC;(2 )设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积A参考答案:1 1 1.证明：⑴因为0为AB中点，所以BO二丄AB,又AB//CD, CD二丄AB ,2 2 所以有CD =BO,CD//BO,所以ODCB为平行四边形，所以BC//OD,又DO 平面POD, BC二平面POD,所以BC//平面POD(II)连接OC.因为CD = BO = AO, CD // AO,所以ADCO 为平行四边形，又AD二CD，所以ADCO为菱形，所以AC — DO，因为正三角形PAB , O为AB中点，所以PO — AB，又因为平面ABCD —平面PAB ,平面ABCD「平面PAB = AB，所以PO -平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以PO — AC ,又POA D O =O，所以AC —平面POD .又PD 平面POD，所以AC — PD .2. (I)证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点•又点M是棱BC的中点,所以OM是ABC的中位线，OM //AB.因为OM二平面ABD, AB 平面ABD ,所以OM //平面ABD .(□)证明：由题意， OM =0D =3,因为 DM =3、2,所以 DOM =90； , OD — OM 又因为菱形 ABCD ，所以OD — AC . 因为 OM A AC = O ,所以OD —平面ABC , 因为OD 平面MDO , 所以平面ABC -平面MDO .（川）解：三棱锥 M -ABD 的体积等于三棱锥 D -ABM 的体积• 由（H ）知，OD —平面ABC ，所以OD = 3为三棱锥D- ABM 的高.1i 73ABM 的面积为—BA BM sin120〔二—6 3—2 2 2所求体积等于—S ABM OD = _3 .3 2BCD9、3•••四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点,•••点M是线段PC的中点，••• MN // PA .•/ MN 平面BMQ, PA二平面BMQ,••• PA // 平面BMQ.4. (I)证明：因为E , O分别为PA , AC的中点,所以EO II PC .因为EO 平面BDEPC二平面BDE所以PC I平面BDE •(H)证明：连结OP因为PB = PD ,所以OP — BD •在菱形ABCD中，BD —AC 因为OP"AC =0所以BD -平面PAC因为BD 平面BDE A所以平面PAC _平面BDE •5. (I)由已知可得AF //B i E , AF = B i E ,四边形AFBE是平行四边形，AE//FB1 ,；AE 二平面B i FC , FB i 平面B i FC ,-AE / / 平面B i FC ；又D,E分别是BC,BB i的中点，DE//BQ ,:ED 二平面B i FC, DC 平面B i FC,.ED//平面B i FC ；T AE DDE 二E,AE 平面EAD , ED 平面EAD , -平面B i FC //平面EAD .(n) 三棱柱ABC —ABiG是直三棱柱，C i C _ 面ABC，又T AD 面ABC ,C i C _ AD .又Y直三棱柱ABC - A i B i C i的所有棱长都相等，D是BC边中点, ■ ABC是正三角形，.BC_AD ,而CQ 门BC - C ，CC i —面BCC i B i ，BC 二面BCG B i ，AD _ 面BCGB，故AD _ BC i .'■P四边形BCC i B i是菱形，^ BC i _ Bi C ，而DE// BC，故DE — BC i ,由AD DE = D，AD 面EAD，ED 面EAD，得BC i -面EAD .6. ( I )证明：因为平面ABCD —平面ADEF , ADE =90 ,所以DE -平面ABCD ,所以DE — AC •因为ABCD是正方形，所以AC - BD，所以AC -平面BDE .(n )证明：设ACPlBD =0，取BE中点G，连结FG, 0G ,1所以，OG Z — DE •2因为AF // DE , DE =2AF，所以AF //OG ,从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO.因为FG 平面BEF , AO二平面BEF ,所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF .（川）解：因为平面ABCD _平面ADEF , AB _ AD ,所以AB _平面ADEF .因为AF//DE, ADE =90；, DE 二DA = 2AF = 2 ,1所以DEF的面积为ED AD =2 ,21 4所以四面体BDEF的体积S DEF AB3 37. 解：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，EF |PD,又PD 面PCD,EF 二面PCD.直线EF//平面PCD（2）连接BD AB二AD, BAD=60 , ABD为正三角形F是AD的中点，.BF — AD,又平面PAD丄平面ABCD,面PAD「面ABCD = AD, BF —面PAD,BF 面BEF 所以，平面BEF丄平面PAD.8. 解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA丄平面ABCD,所以平面PDAQ丄平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD,贝V PQ丄QD2所以PQ丄平面DCQ.（II ）设AB= a.1 3由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V a .3J2 由(I)知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=、.2a , ADCQ的面积为a2,2所以棱锥P —DCQ的体积为V23故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为19. (1 )•••折起前AD是EC边上的高，当 A ABD折起后，ADL DC, AD1DB,又DB DC = D,•••AD丄平面BDC，又••• AD匕平面BDC.•••平面ABD丄平面BDC.(2)由(1)知，DA—DB , DB — DC , DC — DA「DB=DA=DC=1 AB=BC=CA=2 ,1 1S|_DAM -S_DBC = S DCA = ? 1 1 = ?，S ABC --2sin 6^—3••二棱锥D—ABC的表面积是13. 证明：（I）AD // BC, BC= - AD, Q 为AD 的中点，2•••四边形BCDQ为平行四边形，/-CD // BQ .T Z ADC=90 °••/ AQB=90 ° 即QB丄AD.T PA=PD, Q为AD的中点,•••PQ 丄AD.T PQQBQ=Q,•••AD丄平面PBQ.(□)当t =1 时，PA/平面BMQ.连接AC,交BQ于N,连接MN.vBC// 1 2 DQ,2。