立体几何专题1•如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD = AE ,F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ,将厶ABF 沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥 A-BCF ,其中 BC 22AD AEDB=EC '在折叠后的三棱锥—BCF 中也成立，.DE //BC ,；DE 二平面 BCF ，BC 二平面 BCF ，. DE //平面 BCF ；（2）在等边三角形 ABC 中，F 是BC 的中点，所以 AF _ BC ①，BF=CFJ 2A -BCF 中，BC - , . BC 2 = BF 2 CF 2 CF _ BF ②2【解析】这个题是入门级的题， 除了立体几何的内容, 面几何的内容•证明: DE //平面 BCF ； 证明:CF —平面ABF 当AD F - DEG 的体积 V F _DEG •TBF ' CF=F- CF _ 平面 ABF ；（3）由（1） 可知GE//CF ,结合（2）可得 GE _ 平面 DFG .■ V F -DEG =V E-DFG1 1 DG FG GF3 21 .33 324还考查了平行线分线段成比例这个平图4【解析】（1）在等边三角形 ABC 中，AD=AE=-时，求三棱锥3C2. 如图5所示，在四棱锥 P-ABCD中,AB _平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB的中点，F1是DC上的点且DF= AB,PH为厶PAD中AD边上的高.2(1)证明：PH _平面ABCD ;(2)若 PH=1，AD= . 2 ,FC=1 ,求三棱锥 E-BCF 的体积;(3)证明：EF _平面PAB . 解: (1)PH为厶PAD 中的高PH _ AD 又 AB _ 面 PAD , PH 平面 PADPH _ ABAB ' AD = A 所以 PH _平面 ABCD(2):过B点做BG BG _ CD ,垂足为G ;连接HB,取HB中点M,连接EM ,贝U EM 是BPH的中位线｛由(1)知：PH —平面ABCD.EM —平面ABCD.EM _ 平面BCF即EM为三棱锥E-BCF底面上的高EM= 1PH J2 21 1 — 2SB C^ 2FC-BG=2 1"云1 X2 1=—X-------- X:—3 2 2.212图FV E -BCF(3):取 AB 中点 N, PA 中点 Q,连接 EN , FN , EQ, DQ ■■- AB// CD ,CD _ 平面 PAD .AB 丄 平面 PAD , PA 平 面 PAD.AB 丄 PA又■ EN 是 .IPAB 的中位线.EN // PA .AB丄 EN又■ DF-AB2.四边: 形N ADF 是距形.AB 丄 FNEN - FN 二 :N3、如图，已知三棱锥 A — BPC 中，AP 丄PC , AC 丄BC , M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△ PMB 为正三角形。

(I) 求证：DM //平面APC ;(∏)求证：平面 ABC 丄平面 APC ;(川)若 BC = 4 , AB = 20,求三棱锥 D — BCM 的体积.4、已知正方体 ABCD — A I B I C I D I ,其棱长为2, O 是底ABCD 对角线的交点。

求(1) C -O //面 AB i D i ； (2) A i C 丄面 AB ιD ι°AB _平面 NEF 又EF 平面 NEF EF _ AB.四边形 NADF 是距形AB _ NF NF -NE =N AB _平面 NEF(3)若M是CC i的中点，求证：平面 AB I D I⊥平面MB i D i、F 分另IJ是AB、PDAD = PA= 2, CD = 2 2, E的中点•(1) 求证：AF //平面PCE ;(2) 求证：平面PCE丄平面PCD ；(3) 求四面体PEFC的体积•6•如图，已知在三棱柱ABC- A i B i C i 中，AA i ⊥平面ABC, AC = BC, M、N、P、Q 分别是AA i、BB i、AB、B i C i 的中点•(i)求证：平面PCC i ⊥平面MNQ ;⑵求证：PC i//平面MNQ.7•如图，在棱长为 2的正方体ABCD - AιBιCιDι中,E、F分别为DD i、DB的中点.（1）求证：EF 〃平面ABC1D1；（2）求证：EF-B1CDI A8.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形,EC//PD ,且PD=AD=2EC =2 .（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B- CEPD的体积；B(3)求证：BE//平面PDA.9.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD _平面ABCD , PD=AB= 2 , E , F , G 分别为PC、PD、BC 的中点.(1) 求证：GC _ 面EFP ；(2) 求证：；PA// 面EFG ；(3) 求三棱锥P -EFG的体积.3、解：(I)由已知得，MD是厶ABP的中位线MD // APMD 二面APC, AP 面APC.MD // 面APC ........ 4 分(∏) ；CPMB为正三角形，D为PB的中点，MD _ PB,5分.AP _ PB .......... 6 分又AP _ PC, PB - PC= P . AP _ 面PBC ............. 7 分BC 面 PBC AP _ BC又BC _ AC, AC - AP= A. BC _ 面APC .......... 9 分■■ BC 面ABC •平面ABC丄平面APC .......... 10分(川)∙∙∙MD _面PBC , MD是三棱锥 M— DBC的高，且MD = 5..3…11分又在直角三角形 PCB中，由PB = 10, BC = 4 ,可得PC = 2. 21 ..... 12分于是S. B CD = 2 S. BCP = 2^21 ，.............................. 13分VD _BCM = V M _DBC Sh = 10∙∙. 7.............................. 1 4分34、证明：(1)连结A I C I ,设AC In B1D1 =。

1连结AO1 , V ABCD -A1B1C1D1是正方体.A1ACC1是平行四边形AG L AC 且AQ1 = AC又O1,O 分别是A l C I, AC 的中点，.O1C1 L AO 且O1C1= AO■ AOC1O1是平行四边形GO L AO1, A0∙∣—面AB1D1, GO面AB1D1…G O L面AB1D1(2) V CC1丄面A1B1C1D1二CC 丄BD又7 A1C1 _ B1D1, B1 D1—面 A l C I C即 AC- B1D1同理可证AQ — AB1 ,又 D i B i 门 AB I= B i「” A-C-L 面AB I D i ........................................... 9 分(3)设B-D i的中点为N,则AN丄B-Dι,MN丄B i D i ,则MNi3, AN「6, AM =3.AN2 MN2=AM2,厶AMN 是 RT ：,.AN _MN ,. AN _ 面 M3ιDι,.面AB-D i _面MS1D i1(也可以通过定义证明二面角是直二面角) ..... 14分5、•解：（1）证明：设G为PC的中点，连结∙∙∙ F为PD的中点，E为AB的中点，∙∙∙ FG 丄-CD , AE丄-CD∙∙∙ FG j AE,∙∙∙ AF Il GE∙∙∙ GE?平面 PEC,∙ AF H 平面 PCE;(2)证明：I PA = AD= 2,∙∙∙ AF 丄 PD 又∙∙∙ PA丄平面 ABCD , CD?平面ABCD , ∙PA 丄 CD , VAD 丄 CD, FA ∩AD = A, ∙ CD丄平面PAD,V AF?平面 FAD , ∙ AF 丄 CD.V PD ∩CD = D, ∙ AF 丄平面 PCD,∙GE⊥ 平面 PCD,V GE?平面 PEC ,∙平面PCE丄平面PCD ;⑶由⑵知，GE⊥平面PCD, 所以EG为四面体PEFC的高，又GF H CD,所以GF丄PD ,EG= AF = 2 , GF = ^CD = 2 ,1SXPCF = ?PD GF = 2.得四面体PEFC的体积V= 3δ∆PCF EG= 23^.3 36、证明：⑴I AC= BC, P 为AB 的中点，∙∙∙AB⊥ PC,又CC1// AA1,AA i ⊥ 平面ABC,∙CC i ⊥平面ABC ,∙CC1⊥ AB,又∙∙∙CC i ∩PC= C,∙AB ⊥ 平面PCC i,由题意知MN // AB,故MN丄平面PCC i,MN在平面MNQ内,∙平面PCC i⊥平面MNQ.⑵连接AC i、BC i, ∙∙∙ BC i // NQ, AB // MN ,又BC i ∩AB= B,∙平面ABC i //平面MNQ,∙∙∙ PC i在平面ABC i内,∙PC i// 平面MNQ .解：⑴证明：连接AF ,则AF = 2 2, 又AD = 4,∙∙∙ DF2+ AF2= AD2,DF = 2 2,∙DF丄AF.又FA丄平面ABCD ,∙DF 丄FA ,又PA∩AF = A,DF；平面PAF=DF _ PF PF 平面PAF(2)过点E作EH // FD交AD于点H,EH //平面PFD 且AH = i AD.4再过点H作HG // DP交FA于点G,HG //平面PFD 且AG=^AP,EHG // 平面PFD .∙EG // 平面PFD.从而满足AG=4AP的点G为所求.7、证明：(i)连接BD iE、F分别为DD i、DB的中点, EF // BD i ,N又BD^-平面ABC i D i, EF ：二平面ABC i D i,11 ∙∙∙ EF // 平面 ABC 1D 1(2)正方体 ABCD - A I B I C I D I 中,AB _ 平面 BCC i B i ,则 AB _ B i C 正方形 BCC 1B 1 中，B 1C- BC 1 ,又 AB- BC 1=B, AB BC 1 二平面 ABC 1D 1, 则 BQ _ 平面 ABC 1D 1,BD 1 平面 ABC 1D 1 ,所以 BQ_ BD 1又 EF // BD 1,所以 B 1C-EF.8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示： -----3 ⑵∙∙∙ PD _ 平面 ABCD , PD 平面 PDCE∙平面PDCE _平面ABCD∙∙∙ BC _CD ∙ BC_ 平面 PDCE ----------- 5 分1 1 τ S 弟形PDCE(PD EC) DC 3 2=3--6 分 2 2∙四棱锥B — CEPD 的体积(3)证明：∙∙∙ EC// PD , PD 二平面 PDA ,EC 二平面PDA∙ EC//平面 PDA , ------------------------- 10 分同理可得BC//平面PDA ---------------- 11 分∙∙∙ EC 平面 EBC,BC 平面 EBC 且 ECrl BC=C∙平面BEC //平面PDA ------------------- 13 分又∙∙∙ BE 平面 EBC ∙ BE//平面 PDA ----------------------------------- V B -CEPD S 梯形PDCE 3 BCJ 3 2=2.----8 分 3 14 分证明⑴ 解：TFD丄平面ABCD t GCC平面ABCD t :、QC丄PzX ..... 1 分'：ABCD为正方形TΛGC丄CD. ......... 2分t: PDΓ]CD = D, .∖GC丄平面PCD... 4 分⑵证法L如图，取M的中点E,连接G瓦朋V 分别^FC l PD的中凰:、EFlICD.......... 6 分T G r H分别为BC r AD的中点…J GHf/CD.Λ EFIJ GH .∖E t F t H t G四点共面..... T 分V F t H分别为DP I DA B5中点.r. PAH FH.T PAα 平面EFG, 二PAU平面EFG FH U平面EFG i..... 9分.证法2∣∖ E.F.G分别^PC f PD f BCtħ中点,.∖EFf/CDffAB)EG//PB...... 5 分'/ ABα 面EFGEF U 面EFG J:・AB/i ^EFG ...... 国分'/ EGH PB J PB <Z面EFG r EG U 面EFG.∖ PBU面肿G ....... 7分'.'PB∩ AB - B1 EF0EG = E∖：*平蔚E7r(7"平面FAS・ B 分'/ PA匚平面PAB^ .'-PA"平面£阳・ .... 9分面PCD •••三棱锥以GC为高，三角形PEF为底.......... 10分1 1∙∙∙ PF PD =1, EF CD =1,2 21 1•S PEFS EF PF 了•………12分1•GC BC = 1,2121 1 1 1∙∙ V P _EFG -V G-PEF S PEF GC 1 ... 14 分3 3 2 613。