江苏省梅村高级中学2020—2021学年度第一学期12月阶段检测
高二 数学
一、单选题
1、抛物线24x y =的焦点坐标为（）
A.（1，0）
B.（0，1）
C.（0，161）
D.（16
1，0） 2、函数)(x f y =的图像在处的切线方程是73+-=x y ，则)3()3('f f -等于（）
A.1
B.0
C.2
1 D.
2 3、已知向量)1,0,1(-=，则下列向量中与成60°夹角的是（ ）
A.(-1,-1,0)
B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)
4、已知)0(ln 2)1()(>--=a x x
x a x f )在[)+∞,2上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,54
B.⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,54 C.[)+∞,1 D.()+∞,1 5、命题“[]03,3,12≤-∈∀a x x ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.3≤a
B.3≥a
C.5≤a
D.5≥a
6、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a a ==+11,2， 若()2020,0=n a ，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 所有“和谐项”的平方和为（ ）
A.8343111+⨯
B.3443111-⨯
C.3843110+⨯
D.3
443112-⨯ 7、已知椭圆C 的中心在坐标原点，左右焦点21,F F 在x 轴上，2121,,,B B A A 为椭圆
C 的顶点，延长11F B 与21B A 交于点P ，若21PB B ∆为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（ ） A.(0,
215-) B.(0,225-) C.( 215-,1) D.(225-,1) 8、已知函数)0)()((),(≠x g x g x h 分别是定义R 在上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(''<-x g x h x g x h 且0)1(=-h ，若0)()
(<a g a h ，则的取值范围为（ ）
A.(-1,0)
B.),1()0,1(+∞⋃-
C.),1()1,(+∞⋃--∞
D.(-1,1)
二、多选题
9、如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长2为，则下列四个命题正确的是（
） A.直线BC 与平面11D ABC 所成的角等于3π
B.点C 到面11D ABC 的距离为2
C.两条异面直线C D 1和1BC 所成的角为3π
D.三棱柱1111C BB D AA -外接球表面积为π3
10、设等差数列{}n a 的前项和是n S ，已知0,01514<>S S ,正确的选项有（ ）
A.0,01<>d a
B.087>+a a
C.6S 与7S 均为n S 的最大值
D.08<a
11、已知F 是椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点 ,,,),,3,2,1(321FP FP FP i P i =组成公差为d 的等差数列，则（ )
A.椭圆上存在点P ，使2π=
∠FPM B.1FP 的最大值为8 C.d 的值可以为103 D.FPM ∆的面积最大时，7
24tan =∠FPM 12、经研究发现，任意一个三次多项式函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像都只有一个对称中心点))(,(00x f x ，其中0x 是0)(''=x f 的导数，)('x f 是)(x f 的导数，)(''x f 是)('x f 的导数。
若函数b x ax x x f +++=23)(图像的对称点为（-1，
2），且不等式[]
e e x x e x x x
f x mx e +--≥+-233)()1(ln 对任意),1(+∞∈x 恒成立，则（ ）
A.3=a
B.1=b
C.m 的值可能是e -
D.m 的值可能是e 1- 三、填空题
13、若点)1,2(A 在直线02=-+ny mx 上，且0,0>>n m ，则n
m 11+的最小值为（ ） 14、在三棱锥ABC P -中，侧棱⊥PA 底面ABC ，,1,120===∠AC AB BAC 且BC PA 2=，则该三棱锥的外接球的体积为( ) .
15、意大利画家列奥纳多.达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著
名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：a
x a x f cosh )(=，其中a 为悬链线系数，x cosh 称为双曲余弦函数，其函数表达式为2
cosh x
x e e x -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为2
sinh x
x e e x --=。
若直线)0(<=m m x 与双曲余弦函数1C 与双曲正弦函数2C 分别相交于点B A ,，曲线1C 在点A 处的切线1l ，曲线2C 在点B 处的切线2l 相交于点P ，且PAB ∆为锐角三角形，则实数m 的取值范围为( ).
16、已知抛物线x y 42=的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点)4,2(A ，过点F 的动直线l 与抛物线交于N M ,不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KN KM ,的斜率分别为21k k 和，则MB MA +的最小值为( )；21k k +的值为（ ）。
四、解答题
17、已知R m ∈,命题{}22,10:-≥≤≤∈∀x m x x x p ，命题{}x m x x x q ≤≤≤-∈∃,11:。
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围。
18、已知等比数列{}n a 满足8,41321=-=+a a a a ，在公差不为0的等差数列{}n b 中，42=b ，且421,,b b b 成等比数列。
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记n n n b a b a b a T +++= 2211，求n T .
19、如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，ABCD SA 底面⊥,
,1,2===AB SA AD 点E 是棱SD 的中心。
（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值；（2）求二面角D BC E --的大小。
20、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。
设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米。
假设建造成本仅与表面积有关，侧面积 的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）。
（1）将V 表示成r 的函数V （r)，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V （r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大。
21、设函数).()1(ln )(R a x a x x f ∈--=
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）当函数)(x f 有最大值且最大值大于3-a 时，求a 的取值范围。
22、已知o 为坐标原点，椭圆1:22
22=+b
y a x C ，点N M D ,,为C 上的动点，N M O ,,三点共线，离心率23=e ，一条准线方程为3
34=x ，直线DN DM ,斜率分别为).0(,2121≠k k k k
（1）求椭圆方程；
（2）证明：4
121-=k k ； （3）当直线DM 过点（1，0）时，求221211k DN ++的最小值.。