习题二2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。

[解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律tv mma f d d == 即tv mkv d d ==- 所以t mk v v d d -=对等式两边积分⎰⎰-=tvv t m k v v 0d d 0得t mkv v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xv mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即xvmv kv d d =- 所以v x mkd d =-对上式两边积分⎰⎰=-000d d v sv x mk 得到0v s m k-=-即kmv s 0=2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。

若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为[证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。

由牛顿第二定律得即tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d d 得mktF mg kv F mg -=---ln即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。

求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时2T kv mg =即kmgv =T 有牛顿第二定律tv mkv mg d d 2=- 整理得mtkv mg v d d 2=- 对上式两边积分mgkm t kv mg v t v21d d 002⎰⎰=-得mt vk mg v k mg =+-ln整理得T 22221111v eek mg ee v kgm t kg m t kgm t kg m t+-=+-=2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。

求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。

[解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()()()N 1082.71085.11063781063788.913273263232e 2e ⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯=+=h R R mgf(2)由牛顿第二定律hR v m f +=e 2(3)卫星的运转周期2-5试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。

[解]设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则所以2gR GM =代入第一式中3122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωgR r 解得m r 71022.4⨯=2-6两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。

已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。

[解]因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。

所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同(1)每个星球所受的合力 (2)设运动周期为T 联立上述三式得GmR RT π4= 所以，每个星球的运行周期2-7 2-82-9一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。

现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s 时对桌面的瞬时作用力。

[解]链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s 段对桌面的压力1N ，另一部分是正在下落的x d 段对桌面的冲力2N ，桌面对x d 段的作用力为2N '。

显然 t 时刻，下落桌面部分长s 。

设再经过t d ，有x d 落在桌面上。

取下落的x d 段链条为研究对象，它在t d 时间之内速度由gs v 2=变为零，根据动量定理p t N d d 2='(1) x v p d 0d λ-=(2)t v x d d =(3)由(2)、(3)式得λsg N 22-=' 故链条对桌面的作用力为2-10一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。

一质量为m 的小球正以角速度ω沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。

求小球的运动水平面距离碗底的高度。

[分析]小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。

[解]设小球的运动水平面距碗底的高度为h ，小球受力如图所示，则 由以上四式得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R g R h 21ω 2-11自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m ＝7.90g ，出口速率为735s m ，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。

[解]取t ∆时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N '，根据动量定理得 所以N 6.117351090.7220601203=⨯⨯⨯==∆-∆=∆∆='-mv ttv mtp N 故枪托对肩部的平均压力为2-12水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。

设水柱直径为D =30mm ，水速v =56m ，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。

求水柱对煤层的平均冲力。

[解]取长为dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N '，根据动量定理p t N d d ='所以()2224d 2d 0d d v D t v D x t p N ρπρπ-=⋅⋅-=='故水柱对煤层的平均冲力2-13F ＝30+4t 的力作用在质量为10kg 的物体上，求：(1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于300s N ⋅，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10m ，方向与F 相同，在t =6.86s 时，此物体的速度是多少?[解]根据冲量定义 (1)开始两秒钟此力的冲量 (2)?当s N 300⋅=I 时 解得s 86.6=t(3)当s 86.6=t 时，s N 300⋅=I ，根据动量定理 因此s m 401010103000=⨯+=+=m mv I v 2-14质量为m 的质点，以不变速率v 沿图示三角形ABC 的水平光滑轨道运动。

求质点越过角A 时，轨道作用于质点冲量的大小。

[解]如图所示，质点越过A 角时动量的改变为由图知p ∆的大小根据动量定理mv p I 3=∆=2-15质量为m 的质点在xOy 平面内运动，其运动方程j i r t b t a ωωsin cos +=，试求：(1)质点的动量；(2)从t ＝0到ωπ2=t 这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?[解]质点的速度j i rv t b t a tωωωωcos sin d d +-==(1) (1)质点的动量(2)由(1)式得0=t 时，质点的速度ωπ2=t 时，质点的速度为根据动量定理 解法二：(3)质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t 变化。

2-16将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h 处将石子以每秒n 个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m 。

假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t 秒时，台秤的读数。

[解]t 秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力1N ，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N ，显然取t ∆时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N '，根据动量定理所以gh nm N 22-=' 故t ∆时间下落的石子对称的冲力 因此秤的读数为2-17一质点的运动轨迹如图所示。

已知质点的质量为20g ，在A 、B 两位置处的速率都是20s m ，A v 与x 轴成045角，B v 与y 轴垂直，求质点由A 点运动到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。

[解]由题意知，质点由A 点到B 点动量的改变为 根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量 所以()()()()s N 739.0283.0683.0222y 2x 2y 2x ⋅=-+-=∆+∆=+=p p I I I冲量与x 轴之间的夹角2-18若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m ＝136kg ，长l =3.66m 。

当它的转速n =320min r 时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。

[解一]设叶片的根部为原点O ，作径向Or 轴，在叶片上距O 点为r 处取一线元r d ，则r m d d λ=，其两边所受的张力如图所示。

根据圆周运动沿径向的动力学方程，有即r rlmT d d 2ω=对上式积分，并考虑到叶片的外端r 趋近于l 时，张力0=T ，则因此距O 点为r 处叶片中的张力为式中负号表明T 指向O 点。

取r =0，代入题中所给数据，得叶片根部张力 [解二]任意时刻t 叶片的动量 经过d t 时间，叶片动量的改变 叶片根部所受的作用力2-19如图所示，砂子从h ＝0.8m 处下落到以=0v 3s m 的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。

[解]如图所示，设t ∆时间内落下的砂子的质量为m ∆，则m ∆的动量改变显然有gh v 21= 由图可知根据动量定理p F ∆=∆t 所以2-20矿砂从传输带A 落到另一传输带B ，其速度大小为1v ＝4s m ，2v ＝2s m 方向如图所示。

设传输带的运送量t m ∆∆＝2000h kg ，求矿砂作用在传输带B 上的力的大小和方向。

[解]取t ∆时间内落下的矿砂m ∆为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为()22111122x cos sin sin cos θθθθv v m mv mv p -∆=∆+∆-=∆根据动量定理p F ∆=∆t 所以()()N 1079.315cos 230sin 436002000cos sin 2002211x x -⨯=-=-∆∆=∆∆=θθv v t mt p F 故矿砂作用在传输带B 上的力 与竖直方向的夹角2-21质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。