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Robert Merton
（1944-）
对Black-Scholes公式所依赖的假设条件作了进一 步减弱，在许多方面对其做了推广，1997年诺贝尔经 济学奖获得者。
1944年出生于美国纽约，小时候对数学特别感兴 趣。 1966年毕业于哥伦比亚大学工学院，并获工程 数学学士学位。在哥伦比亚大学默顿曾经上过Chiakun Chu教授的热传导课，从而教会了他偏微分的方 程和其他高深的数学理论。也正是在这位教授的鼓舞 和推荐下，默顿大学毕业后去了加州理工学院攻读硕 士学位。在加州理工学院学习时，他仍然十分关注金 融市场。他早上6:30就去一个经纪公司进行股票和场 外期权的交易，直到8:30再去学院工作，在那里他形 成了对金融市场交易过程的直觉，这种直觉对他今后 从事的期权定价理论研究有莫大的帮助。
b2)dt

G x
bdz
（11.7）
这里，dz是一个标准布朗运动，可以看到
和 都是x和t的函数。因此，函 G
x
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将式（11.1）和（11.2）联立方程组，在数学上
很自然地会在式（11.1）的两边同时乘上
f S
,并
将两式相减，这可以消去dz项，得到B-S-M微分
方程：
f t
rS
f S

1
2
2S 2
2 f S 2
1) X er(T t)N (d 2)
Black是位充满传奇色彩的人物。他从未受过正式 的金融和经济学训练，但却在几年之内创立了现代金 融学的基础。他在生活中处处规避风险，却在学术研 究和商业实践中勇敢的挑战前册。他能轻易地获得芝 加哥大学和MIT的终生教授头衔，也能自如地放弃， 再次投身到金融衍生品革命的大潮。他频繁地在象牙 塔和华尔街之间穿梭、游弋，给那些以为理论和实践 是两个截然世界的人出了大大的难题。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
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本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
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Fisher Black
（1938年1月11日-1995年8月30日）
美国经济学家，Black-Scholes模型的提出者之一。 他毕生坚持奋战在华尔街，在金融领域他是“搞实务 的”而不是“做学术的”，然而，他却创建了迄今为 止最正确、最经典、应用最广、成就最高的模型 （ Black-Scholes模型）。在他因肺癌去世一年后，诺 贝尔经济学奖颁给了参与创建模型的两位学者Scholes 和Merton。
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
df
( f S
S

f t
1 2

2f S2

2
S
2)dt

f S

Sdz
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第二节 股票价格的变化过程
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一、 几何布朗运动
对于股票价格的变化过程来说，人们通 常用如下公式来进行描述：
dS dt dz
S
这是B-S-M期权定价模型的基础性假设， 也是金融中最重要最普遍的假设之一。
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★几何布朗运动图示
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二、伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假设漂移率和方差率为常数，如 果变量x的漂移率和方差率均为变量x和时间t的函 数，就说变量x服从伊藤过程（ Itôprocess）：
第十一章
Black-Scholes-Merton期权定价模型
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本章思想的来源：
（1）Black,Fischer and Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy,1973,Vol.81 Issue 3,pp.637-654.
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Myron Scholes
（1941-）
由于他给出了著名的Black-Scholes期权定价公式， 该法则已成为金融机构涉及金融新产品的思想方法， 由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
求学与供职简历：
1941年出生于加拿大；1962年在Mc-Master大学 获学士学位；1964年获芝加哥MBA学位；1968年获 芝加哥大学商学院金融学博士学位；1969年获芝加哥 大学经济学博士学位；1972-1983执教芝加哥大学； 1983年至今执教斯坦福大学。
dx a(x,t)dt b(x,t)dz （11.6）
其中，dz仍为标准布朗运动；a和b是变量x和t 的函数，变量x的漂移率为a，方差为b2。
在此基础上，伊藤进一步推导出，若变量x遵 循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下 过程：
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dG

(
G x
a

G t

1 2
2G x2
（2）Merton, Robert. Theory of Rational Option Pricing [J]. The Bell Journal of Economics and Management Science,1973(Spring),Vol.4 Issue 1,pp.141-183.
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通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变 化是一个随机过程。相应地，受其影响的期权价 格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上，
人们发现，股票价格的变化可以用数学上的一种 随机过程-几何布朗运动较好的加以描述，其具体 形式如下：
dS/S=μdt+σdz
（11.1）
其中，dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机 因素。