f
( xn1

h) 2
f
(b)]
b
h
n1
n1
a
f (x)dx
[ f (a) 4
6
j0
f
(x
j1 2
)

2
j 1
f (xj)
f (b)]
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Simpson求积公
式计算积分
1 sin x
4.3 复化求积公式
4.3. 1 复化梯形求积公式 4.3.2复化Simpson求积公式 4.3.3复化Cotes求积公式 4.3.4 收敛性
4.3.5误差的事后估计与步长的自动选择
由上面Newton-Cotes公式易见，当n 较大时不稳定． 因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取复 化求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在 每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值 。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由 此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复 化求积公式。
min
1k n
f (k )

1 n
n k 1
f
(k )

max
1k n
f (k )
由中值定理知, (a,b),使得
f
( )

1 n
n k 1
f
(k )
RTn
h2 (b a) f
12
( )
(4.3.2)
（3）收敛性
从复化梯形求积公式的余项可知,与相应的NewtonCotes求积公式相比,复化求积公式一般不能提高代数精 度,但它们均具有收敛性.
x
k

2
)
4
n 1
n 1
32 k 0
f
(
x
k

3
4
)
14
k 1
f (xk ) 7 f (b)]
xk
x k2
x k 1
4
x
k

i
4

xk

ih 4
（4.3.6）
复化Cotes公式的余项分别为：其中ξ∈[a,b]
Rc ( f )
b a
f
(x)dx
Cn


2(b a) 945
为避免这种重复计算，我们来分析新近似值T2n与原有近 似值Tn之间的关系。由复化梯形公式知：
T2n

h2n 2
[f
2n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)],
ba h2n 2n
注意到在2n分点
当k取偶数时，xk
即xk 为na分点k，b2k为na奇（数k时=1，,2x,…k 才…是2n新-1)增中加，的分
使误差不超过
，问各取多少个节点？
解：由复化梯形公式的误差公式，令
时，要
由此解得 由复化辛普森公式的误差公式，令
32(
f
(3) 8
f
( 7)) 14 f 8
(1) 7 2
f
(1)

1 [...] .... 180
4/8 0.9588510 5/8 0.9361556 6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709
例4.15分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算
定义
若一个积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]

C


且C 0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
显然，复化梯形公式是2 阶收敛的；

lim RTn h n 2


1 12
(b

a)
f
()

Tn

h 2

f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
T2

1 2 T1

1 2
f ( 1 ) 0.9397933 2
T4

1 2
T2

1 4

f

1 4


f

3 4


0.9445135
T8

1 2
T4

1 8

f

1 8


f

3 8


f

5 8


f

7 8

h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k

1 2
)

2
k
1
f
(xk )
f
(b)], h

ba n
=
Sn
(4.3.4)
复化Simpson积分公式的几何意义
Sn (
f
)

h[ 6

(a)

4
f
(a

h) 2

2
f
(x2 )

4
f
( x2

h) 2


2
f
(xn1) 4
f
( xk 1
2
)
h ba n
1
h n1

2 Tn

2
k 0
f
(
x
k

1
)
2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出Tn 基础上再计算T2n时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 到T8
f
(b)
4/8 5/8

1
8

2

f
7
(0) 2
k 1
f
k 8
f
(1)
6/8
0.9456909
7/8
1
3/4
1
f (x) 1
0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709
h6
f
(6) ( )
当 h 充分小时又有：
Rc (
f
)


2 945
h6[
f
(5) (b)

f
(5) (a)]
(4.3.7)
由此可知，复化Cotes公式是6阶收敛的；
0
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Cotes求积公式
计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
Tn

h 2

f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)
复化梯形公式积分法的 几何意义是曲边梯形面积近 似地用许多小的细条梯形来 代替．（如右图）
从图中可以看出，n 越大，则h 越小，实际面积与近似面 积的差，即求积误差也就越小．
这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不 光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不 光滑的问题．
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1

T2n
4n

f
(a)

2
k 1
f
(xk )

2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)

1 2
h 2

f
(a)

n1
2
k 1
f
(xk )

f
(b)
h 2
n k 0
n
(b a)h4 j1 f (4) ( j )
90 25
n
由闭区间上连续函数的介值性质可知在[a,b]上至少存在一点，
使
f (4) ( ) 1
n
n j 1
f (4) ( j )
I(
f
)

Sn (
f
)


ba 2880
h4
f
(4) ( ), a



b

0.9456909
与例4.14直接计算T8的结果一致。
2 复化Simpson求积公式
将积分区间[a,b]划分为n等份， h=(b-a)/n,
在每个子区间
上用 Simpson公式可
得
x
k

1
2

xk

1h 2
xk1 xk
f
(x) dx

xk 1 xk 6
[ f (xk ) 4 f
(
1
[
f
(
xk
1
)

f (xk )],
k 1, ..., n
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1