平面向量题型 1.基本概念判断正误：例2（1）化简：①AB BC CD ___；②AB AD DC ____；③()()AB CD AC BD _____（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BCb ACc ，则||a b c ＝_____（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA ，则ABC 的形状为_9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（）A ．125,1313B．125,1313C ．125125,,13131313或 D ．125125,,13131313或10．如图，D 、E 、F 分别是ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则下列等式中成立的有_________：①FD DA AF 0②FD DE EF 0③DEDABE④ADBEAF11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BCBA BP ，则（）A.0PAPB B.0PC PA C.0PBPCD.PAPB PC 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BCCE ，其中等于（）B.12D.－1313.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( )A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6)14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAByAC ，则x，y.图215、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC那么（）Ａ．AOOD Ｂ．2AO ODＣ．3AOOD Ｄ．2AOOD题型3平面向量基本定理FE DCBA平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1、2，使a =1e 1＋2e 2。

性质：向量PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线存在实数、使得PA PB PC 且1.例3（1）若(1,1),ab (1,1),(1,2)c ，则c______（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e B. 12(1,2),(5,7)e e C. 12(3,5),(6,10)e e D. 1213(2,3),(,)24e e （3）已知,AD BE 分别是ABC 的边,BC AC 上的中线,且,AD a BEb ,则BC 可用向量,a b 表示为（4）已知ABC 中，点D 在BC 边上，且DB CD2，AC s AB r CD ，则s r 的值是___（5）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(B ,若点C 满足OCOB OA21,其中R21,且121,则点C 的轨迹是_______练习1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e eB. 12(1,2),(5,7)e eC. 12(3,5),(6,10)e e D.1213(2,3),(,)24e e 2.（2011全国一5）在ABC △中，ABc ，AC b ．若点D 满足2BDDC ，则AD =（）A ．2133bcB ．5233cbC ．2133bcD ．1233bc3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD （）.A ．BA BC21 B．BABC 21C ．BA BC21 D．BABC 21题型4向量的坐标运算例4（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R ，则当＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y 且，,(,)22x y，则xy（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ，则合力123FF F F 的终点坐标是（4）设(2,3),(1,5)A B ，且13AC AB ，3AD AB ，则C 、D 的坐标分别是__________练习1.已知(4,5)AB ，(2,3)A ，则点B 的坐标是。

2.设平面向量3,5,2,1ab，则2a b( )（Ａ）7,3（Ｂ）7,7（Ｃ）1,7（Ｄ）1,33.若向量(1,2)AB ，(3,4)BC ，则ACA. (4,6)B.(4,6) C.(2,2) D.(2,2)题型 5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos a b 叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b 。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

平面向量数量积坐标表示：1212a bx x y y ?a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则：①0ab a b ?；②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，222,a a a a aa ?；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b ；当为锐角时，a ?b ＞0，且a b 、不同向，0a b 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a ?b ＜0，且a b 、不反向，0a b 是为钝角的必要非充分条件；例5（1）△ABC 中，3||AB ，4||AC ，5||BC ，则BC AB _________（2）已知11(1,),(0,),,22a bc akb dab ，c 与d 的夹角为4，则k 等于____（3）已知2,5,3a ba b，则a b 等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b ab ，则与a ab 的夹角为____（5）已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。

（1）若x ＝3，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[，函数b a x f )(的最大值为21，求的值（6）下列命题中：①c a b a c ba )(；②c b a c b a )()(；③2()a b 2||a 22||||||a b b ；④若0ba ，则0a或0b；⑤若,a b c b 则ac ；⑥22a a ；⑦2a b b aa；⑧222()a b ab ；⑨222()2ab aa bb 。

其中正确的是______练习1.已知||3,||4a b ，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ，（2）()a a b ，（3）2)(b a ，（4）(2)(3)a b a b 。

2.已知(2,6),(8,10)a b，求（1）||,||a b ，（2）a b ，3.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B)—12(C)12(D)14已知向量a 与b 的夹角为120，且4a b ，那么b a ?的值为．5. △ABC 中，60,3,2B BC AB ,则________?BC AB 6、设a 、b 、c 是单位向量且a ·b ＝0则a c b c ?的最小值为 ( )（A ）2（B ）22（C ）1 (D)127、设ABC 的三个内角,,A B C 向量(3sin ,sin )A B m(cos ,3cos )B A n 若1cos()AB m n 则C =（）A ．6B ．3C ．23D ．56题型6求向量的夹角非零向量a ，b 夹角的计算公式：cosa b a b?；||||||a b a b ?例6（1）已知)2,(a ，)2,3(b，如果a 与b 的夹角为锐角，则的取值范围是______（2）已知OFQ 的面积为S ，且1FQOF ，若2321S，则FQ OF ,夹角的取值范围是_________（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),ax x by y a 与b 之间有关系式3,0ka b akb k 其中，①用k 表示a b ；②求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角的大小练习1.已知||8,||3a b ，12a b，求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1),(23,2)a b ，求a 与b 的夹角。

5.已知(,3)a m ，(2,1)b ，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。

6．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a ，(2)b a b ，则a 与b 的夹角是（）A ．6 B ．3C ．32 D ．65题型7.求向量的模向量的模：222222||,||a xy aa xy 。

两点间的距离：若1122,,,A x y B x y ，则222121||AB x x y y 。

例7、已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b ＝_____；1.已知||3,||4a b ，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b ，（2）|23|a b 。

2.设xR ，向量(,1),(1,2),ax b且ab ，则||a b （A ）5（B ）10（C ）25（D ）103.若向量a ，b 满足12a b ，且a 与b 的夹角为3，则a b．11.（全国II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．题型8投影问题b 在a 上的投影为||cos b ，它是一个实数，但不一定大于0。

例：已知3||a ，5||b ，且12b a ，则向量a 在向量b 上的投影为______1．已知，4,5b a ，b a 与的夹角32，则向量b 在向量a 上的投影为3．关于c a b a ..且0a ，有下列几种说法：①)(c b a ；②bc ；③0).(c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a方向上的投影；⑤a b ；⑥cb其中正确的个数是（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个5．若a =)3,2(，b =)7,4(，则a 在b 上的投影为________________。

题型9.向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：//a b a b 22()(||||)a b a b 1212x y y x ＝0。

向量垂直的充要条件：0||||ab a bab ab 1212x x y y 练习1.已知(6,2)a，(3,)bm ，当m 为何值时，（1）//a b （2）ab2.已知平面向量(1,2)a ，(2,)b m ，且a b 23a b (5,10)(4,8)(3,6)(2,4)0PA PBPC PABC 112233,,,,,A x y B x y C x y 123123,33x x x y y y GPA PBPB PCPC PAPABC a b cOOCc OBb OAa 0ABC 向量()(0)||||AC AB AB AC 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线)；结论4OCOBOAO 为ABC 的外心。