学习必备 欢迎下载第一节求根公式【例题求解 】【例 1】满足 (n 2n 1)n 21的整数 n 有个．【例 2】设 x 1 、 x 2 是二次方程 x 2x 3 0 的两个根，那么 x 1 3 4x 2219 的值等于（）A ． 一 4B ．8C ． 6D ． 0【例 3】 解关于 x 的方程 (a 1) x 2 2ax a 0 ．【例 4】设方程 x 2 2 x14 0 ，求满足该方程的所有根之和．【练习题 】1. 已知 a 、 b 是实数，且 2a 6 b2 0 ，那么关于 x 的方程 (a2)x 2 b 2 x a 1 的根为．2. 已知 x23x2 0 ，那么代数式 (x 1)3x 2 1的值是．x 13. 若两个方程 x2ax b0 和 x 2 bx a 0 只有一个公共根，则 ()A ． a bB ． a b 0C ． a b 1D ． a b 1 4. 若 x 2 5x 1 0 ，则 2x 2 9 x 351 ＝．x 25. 已知 m 、 n 是有理数，方程 x 2mx n 0 有一个根是5 2 ，则 m n 的值为 ．6. 已知 a 、 b 都是负实数，且1 1 1 b 0 ，那么 b的值是 ( )a b a aA ． 5 1B ．1 5C ． 1 5D ．1 522227. 已知 x 22x 2 0 ，求代数式 (x 1)2( x 3)( x 3)( x 3)( x 1) 的值．8. 已知 x198 3 ，求x 4 6x3 2x218 x23的值．x28x 159. 已知 m 、n 是一元二次方程x 22001 7 0 的两个根，求 ( m 22000m 6)(m22002n 8)x的值．10. 已知方程 x 23x1 0 的两根 、 也是方程 x4px 2 q 0 的根，求 p 、 q 的值．第二节 根的判别式【例题求解 】【例 1】已知关于 x 的一元二次方程 (12 ) x 2 2 k1 1 0有两个不相等的实数根，那么kxk 的取值范围是 ．【例 2】已知关于 x 的方程 x 2(k 2)x2 k 0，(1) 求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形△ ABC 的一边长 a ＝ 1，另两边长 b 、 c 恰好是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长．【例 3】设方程 x 2 ax 4 ，只有 3 个不相等的实数根，求 a 的值和相应的 3 个根．【例 4】已知关于 x 的方程 x 22(2 m) x 3 6m 0(1) 求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根；(2) 如果方程的两实根分别为 x 1 、 x 2 ，满足 x 1 =3 x 2 ，求实数 m 的值．【练习题 】1. 已知 a 4 b 10 ，若方程 kx 2 ax b 0 有两个相等的实数根，则 k = ． 2. 若关于 x 的方程 x22 k x 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．3. 已知关于 x 方程 x22 k4x k 0有两个不相等的实数解， 化简 k 2k 2 4k 4 =．4. 若关于 x 的一元二次方程 (m2) 2 x 2 (2m 1) x 1 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ()A ． m3 B ． m3 C ． m3且 m 2D ． m3且 m 24444 5. 已 知 一 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a 、 b 、 c ， ∠ B ＝ 90 ° ， 那 么 关 于 x 的 方 程a(x 2 1) 2cx b( x 2 1) 0 的根的情况为 ()A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定6. 如 果 关 于 x 的 方 程(m2)x 2 2(m 1)x m0 只 有 一 个 实 数 根 ， 那 么 方 程mx 2 ( m 2) x (4 m)0 的根的情况是 ()A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根7. 在等腰三角形 ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 3 ， b 和 c 是 关于 x 的方程 x2mx2 1 m 0的两个实数根，求△ ABC 的周长．28. 已知一元二次方程x2 bx c 0 ，且 b 、c可在 1、2、3、4、5 中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( )A ． 12 个B ． 10 个C． 7 个D． 5 个9. 如果关于x的方程mx2 2(m 2) x m 5 0 没有实数根，那么关于 x 的方程( m 5) x2 2(m 2)x m 0 的实根的个数 ( )A ． 2 B． 1 C．0 D ．不能确定a2x2 (c2 a 2 b 2 ) x b2 0 ，则方10. 已知△ ABC 的三边长为a、b、 c，且满足方程程根的情况是 ( )A ．有两相等实根B．有两相异实根C．无实根D．不能确定11. a、 b 为实数，关于x的方程 x2 ax b 2 有三个不等的实数根．(1)求证： a 2 4b 8 0 ；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；(3) 若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 a 和b的值．12. 关于x的方程kx2(k 1) x 1 0 有有理根，求整数是的值．第三节韦达定理【例题求解】【例 1】已知、是方程 x2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为．【例 2】如果、都是质数，且 2 13 0 2 b aa ba m ，b 13b m 0 ，那么的值为 ( )a a bA． 123 B．125或 2 C． 125 D．123或 222 22 22 22【例 3】已知关于x的方程： x2 (m 2) x m2 04(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2) 若这个方程的两个实根x1、 x2满足 x2 x1 2 ，求 m 的值及相应的 x1、 x2．【例 4】设 x1、x2是方程 2x2 4mx 2m2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时，x1 2 x 2 2 有最小值 ?并求出这个最小值．【例 5 】已知：四边形ABCD 中， AB ∥ CD ，且 AB 、 CD 的长是关于x的方程x 2 2mx ( m 1)2 7 0 的两个根．2 4(1)当 m＝ 2 和 m>2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形 ?并说明理由．(2)若 M 、N 分别是 AD 、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC 、BD 于点 P，Q，PQ＝ 1，且 AB<CD ，求 AB 、 CD 的长．【练习题】1. (1) 已知 x1 和 x 为一元二次方程2x2 2x 3m 1 0 的两个实根，并 x 和 x2满足不等式2 1x1 x21 ，则实数m取值范围是．x1 x2 4(2) 已知关于x的一元二次方程8x 2 (m 1) x m 7 0 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是．2. 已知、是方程的两个实数根，则代数式 3 2 2 2 的值为．3. CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线， AD 、BD 是方程 x2 6x 4 0 的两根，则△ ABC 的面积是．4. 设 x1、 x2是关于x的方程 x2 px q 0 的两根， x1 +1 、 x2 +1 是关于x的方程x2 qx p 0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于 ( )A ． 1， -3B． 1，3C． -1， -3 D ． -1， 35.在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， a、 b、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边， a、 b 是关于x的方程 x 2 7x c 7 0 的两根，那么AB 边上的中线长是 ()A ．3B ．5D． 2C．52 26. 方程 x 2 px 1997 0 恰有两个正整数根x1、 x2，则(x1 p 的值是 () 1)(x2 1)A ． 1 B． -l C．1D．1 2 27. 已知、是方程 x 2 x 1 0 的两个根，则 4 3 的值为．8. △ ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程 2 2 12x m 0的两根，则m 的取值范围x是．9. 已知关于x 的方程x2 (2k 3) x k2 1 0 ．(1)当 k 是为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根x1、 x2满足：x2x1 3 ，求 k 的值．10.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的长为 10，且 AB 、 BC(AB>BC) 的长是关于x的方程的两个根．(1)求 rn 的值；（2）若 E 是 AB 上的一点， CF⊥ DE 于 F，求 BE 为何值时，△ CEF 的面积是△ CED 的面积的1，请说明理由．311. 如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB=90°，过 C 作 CD ⊥ AB 于 D，且 AD ＝ m，BD=n ，AC 2：BC 2＝ 2：1；又关于x 的方程1x22(n 1) x m212 0 两实数根的差的平方小于192，求4整数 m、 n 的值．。