（2）解：∵ 方程 x2﹣2x+m﹣3=0 有两个相等的实数根，
∴ △ =（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方
程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
5．已知：关于 的方程 （1） 用含 的式子表示方程的两实数根；
∵ m9 ， 2
∴ m3.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则
x1
x2
b a
，
x1x2
c a
．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系
和根的判别式.
∴
．
∴
．
∴ 的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方
程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数
根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.
7．校园空地上有一面墙，长度为 20m，用长为 32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，
解这个方程，得
y1
0,
y2
3 10
，
∴ a1 0 （舍去）， a2 30 ，
即 a 的值是 30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．
【答案】x1=1+ 3 ，x2=1﹣ 3
解得 k＜- 3 ； 4
（2）当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0． 则 x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵
=
=
= 3，
2
解得：k=-1 或 k= 1 （舍去）， 3
∴ k=﹣1
4．计算题
（1）先化简，再求值：
x2 x 1
÷（1+
1 x2 1
），其中
x=2017．
（2）已知方程 x2﹣2x+m﹣3=0 有两个相等的实数根，求 m 的值．
解这个不等式，得 x 56 ， 答：至多销售 A 品牌的建材 56 件.
（2）在（1）中销售额最低时， B 品牌的建材 70 件， 根据题意，得
6000
1
a%
56
1
1 2
a%
9000 1
a%
70
1
2 3
a%
6000
56
9000
70
1
2 23
a%
，
令 a% y ，整理这个方程，得10 y2 3y 0 ，
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ x ×20）=2240， 2
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得 x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元. （2）由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元. ∵ 要尽可能让利于顾客，∴ 每千克核桃应降价 6 元.
此时，售价为：60﹣6=54（元）， 54 100%=90% . 60
种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在 2019 年第二季度调整价格，将 A 种品牌的建材在上一个季度的基
础上下调 a% ， B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 a% ；同时，与（1）问中最低
销售额的销售量相比，
A
种品牌的建材的销售量增加了
1 2
a%
，
B
种品牌的建材的销售量
减少了 2 a% ，结果 2019 年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 2 a% ，求 a
施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元.下图反映
了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
6．关于 x 的一元二次方程
．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求 m 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
有两个不相等实数根
．
（2）设方程的两实数根分别是 ， （其中
），且
【答案】（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0 是关于 x 的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴
或
，求 的值．
（II）
，∴
．
而
，∴
，
．
由题意，有
∴
即
（﹡）
解之，得
经检验 是方程（﹡）的根，但
，∴
【解析】
（1）计算△ =（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1＞x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即 可． 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、 保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△ ≥0，然后解不等式得到 m 的范围，再在此范围内找出 最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到
x1
x2
(m
1)
，
x1x2
1 4
m2
2
，然后解关于
m
的一
元二次方程，即可确定 m 的值．
【详解】
解：（1）∵ x2 (m 1)x 1 m2 2 0 有两个实数根， 4
∴ (m 1)2 41 (1 m2 2) 0 ， 4
∴ 2m 9 0 ，
∴ m9 ； 2
∴ m 的最小整数值为： m 4 ；
（2）由根与系数的关系得：
x1
x2
(m
1)
，
x1x2
1 4
m2
2，
由
x12
x22
x1x2
18
1 4
m2 得：
m
12
1 4
m2
2
18
1 4
m2
∴ m2 2m 15 0 ， 解得： m 3 或 m 5 ；
【解析】 试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，
解得：x1=1+ 3 ，x2=1﹣ 3 ．
3．已知关于 x 的二次函数 y x2 (2k 1)x k2 1 的图象与 x 轴有 2 个交点.
3
23
的值.
【答案】（1）至多销售 A 品牌的建材 56 件;(2) a 的值是 30.
Байду номын сангаас
【解析】
【分析】
（1）设销售 A 品牌的建材 x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等
式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售 A 品牌的建材 x 件.
根据题意，得 6000x 9000126 x 966000 ，
9．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可 售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 【答案】（1）4 元或 6 元；（2）九折. 【解析】 【详解】 解：（1）设每千克核桃应降价 x 元.
（1）求 k 的取值范围；
（2）若图象与
x
轴交点的横坐标为
x1 ,
x2
，且它们的倒数之和是
3 2
，求
k
的值.
【答案】（1）k＜- 3 ；（2）k=﹣1 4
【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让 y=0 判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式 △ = b2-4ac 的范围可求解出 k 的值； （2）利用 y=0 时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到 k 的值. 试题解析：（1）∵ 二次函数 y=x2-（2k-1）x+k2+1 的图象与 x 轴有两交点， ∴ 当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根． ∴ △ =b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.
(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得
，再根据题意两个根都是正整
数，从而可以确定 的取值范围，即求出吗 的最小值.
【详解】
(1)证明：依题意，得
．
，
∴
．
∴ 方程总有两个实数根．
由
．
可化为：
得
，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
如图所示． （1）能围成面积是 126m2 的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积能达到 170m2 吗？请说明理由．
【答案】（1）长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为 9 米；（2）若篱笆再增加 4m， 围成的矩形花圃面积不能达到 170m2． 【解析】 【分析】 （1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式 列方程求解即可得到答案. （2）假设能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式 列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】 （1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（32﹣2x）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x1=7，x2=9， ∴ 32﹣2x=18 或 32﹣2x=14， ∴ 假设成立，即长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为 9 米． （2）假设能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（36﹣2y）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y2﹣18y+85=0． ∵ △ =(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴ 该方程无解， ∴ 假设不成立，即若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积不能达到 170m2．