2018-2019学年上学期郑州外国语中学九年级期中考试数学试卷一．选择题（共11小题）1．如图是一根空心方管，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．一元二次方程3x2﹣7x+5=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．已知点A（2，﹣3）在双曲线y=kx上，则下列哪个点也在此双曲线上（）A．（2，3）B．（1，6）C．（﹣1，6）D．（﹣2，﹣3）4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有18个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．40B．48C．56D．605．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a=√2，b=3，c=2，d=√3B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=√5，c=2√3，d=√15D．a=2，b=3，c=4，d=16．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．167．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1B．2C．1或2D．08．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=a2+1x（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 9．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=31°，则∠OBC的度数为（）A．31°B．49°C．59°D．69°10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是（）A．（21009，0）B．（0，21009）C．（21008，0）D．（0，21008）二．填空题（共4小题）11．一元二次方程12x2=x的解是_________.12．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=12BC，则若AB=6，则DF=_______13．如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数y2=2x的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为．三．解答题（共6小题）16．解下列方程：（1）9x2+6x+1=4（2）x2﹣4x﹣1=0．17．为响应市收府关于”垃圾不落地•市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为“A：非常了解，B：比较了解C：了解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）把两幅统计图补充完整；（2）若该校学生数1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有名；（3）已知“非常了解”的3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．18．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求四边形ABCD的面积．19．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度．20．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？21．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（﹣3，m）．（1）求反比例函数y1=kx和一次函数y2=ax+b的表达式；（2）点C 是坐标平面内一点，BC∥x 轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC=√5CD，求点C的坐标．22.己知：在菱形ABCD中,∠ABC=60∘,对角线AC,BD相交于点O,点E是线段BD上一动点(不与点B,D重合)，连接AE，以AE为边在AE的右侧作等边△AEF.(1)如图①，若点F落在线段BD上，线段AE、FD的数量关系是___；(2)如图②,若点F不在线段BD上,(1)中的结论是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)BE与BD满足___时,AE∥FD.23.如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E. F. G分别从A. B. C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动。

在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E. F. G运动的时间为t(单位：s).(1)当t=___s时,四边形EBFB′为正方形；(2)若以点E. B. F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t,使得点B′在射线BO上?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

2018-2019学年上学期郑州外国语中学九年级期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图是一根空心方管，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．【解答】解：如图所示：俯视图应该是．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等2．一元二次方程3x2﹣7x+5=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=﹣11＜0，进而即可得出该方程没有实数根．【解答】解：∵a=3，b=﹣7，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×3×5=﹣11＜0，∴一元二次方程3x2﹣7x+5=0没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．3．已知点A（2，﹣3）在双曲线y=kx上，则下列哪个点也在此双曲线上（）A．（2，3）B．（1，6）C．（﹣1，6）D．（﹣2，﹣3）【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．【解答】解：解：∵点M（﹣2，3）在双曲线y=kx 上，∴k=xy=（﹣2）×3=﹣6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．A、因为3×（2）=6≠k，所以该点不在双曲线y=kx上．故A选项错误；B、因为（）×（）=6≠k，所以该点不在双曲线y=kx上．故B选项错误；C、因为﹣1×6=﹣6=k，所以该点在双曲线y=kx上．故C选项正确；D、因为﹣3×（﹣2）=6≠k，所以该点不在双曲线y=kx上．故D选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有18个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．40B．48C．56D．60【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．【解答】解：根据题意得18n=30%，解得n=60，所以这个不透明的盒子里大约有60个除颜色外其他完全相同的小球．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．5．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a=√2，b=3，c=2，d=√3B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=√5，c=2√3，d=√15D．a=2，b=3，c=4，d=1【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A.√2×3≠2×√3，故本选项错误；B.4×10≠5×6，故本选项错误；C.2×√15=√5×2√3，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×14=4．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1B．2C．1或2D．0【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：根据题意，知，{m−1≠0m2−3m+2=0，解方程得：m=2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．8．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=a2+1x（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴反比例函数y=a2+1x（a为常数）的图象位于第一三象限，∵﹣6＜﹣2，∴0＞y1＞y2，∵3＞0，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=31°，则∠OBC的度数为（）A．31°B．49°C．59°D．69°【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵{∠MAO=∠NCOAM=CN∠AMO=∠CNO，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=31°，∴∠BCA=∠DAC=31°，∴∠OBC=90°﹣31°=59°．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是（）A．（21009，0）B．（0，21009）C．（21008，0）D．（0，21008）【分析】根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．【解答】解：有图形可知，OB1=√2，每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的√2倍，同时，各个B点每次旋转45°，则八次旋转一周．∴顶点B2018到原点的距离为(√2)2018=21009∵2018=252×8+2∴顶点B2018的恰好在y轴正半轴上．故答案为：（0，21009）【点评】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，解答时要注意数形结合，同时注意点坐标的象限符号．二．填空题（共4小题）x2=x的解是_________.11．一元二次方程12【解答】x1=0,x2=212. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=12BC，则若AB=6，则DF=_______【解答】DF=413．如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数y2=2x的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是x＞2或﹣1＜x＜0．【分析】找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值即可．【解答】解：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，∵两图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），∴使y1＞y2的x的取值范围是：x＞2或﹣1＜x＜0．【点评】用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是6﹣2√5≤BP≤4．【分析】此题需要运用极端原理求解：①BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=PF，在Rt△PFC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；②BP最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=34，即BP的最大值为4；根据上述两种情况即可得到BP的取值范围．【解答】解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=6；在Rt△PFC中，PF=6，FC=4，则PC=2√5；∴BP=x min=6﹣2√5；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=4，即BP的最大值为4；故答案为：6﹣2√5≤BP≤4．【点评】此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x的两种极值下F、E点的位置，是解决此题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为2√3或9−3√5．【分析】分两种情况考虑：B′在横对称轴上与B′在竖对称轴上，分别求出BF 的长即可．【解答】解：当B′在横对称轴上，此时AE=EB=3，如图1所示，由折叠可得△ABF ≌△AB′F ，∴∠AFB=∠AFB′，AB=AB′=6，BF=B′F ， ∴∠B′MF=∠B′FM ， ∴B′M=B′F ，∵EB′∥BF ，且E 为AB 中点，∴M 为AF 中点，即EM 为中位线，∠B′MF=∠MFB ，∴EM=12BF ，设BF=x ，则有B′M=B′F=BF=x ，EM=12x ，即EB′=32x ，在Rt △AEB′中，根据勾股定理得：32+（32x ）2=62，解得：x=2√3，即BF=2√3；当B′在竖对称轴上时，此时AM=MD=BN=CN=4，如图2所示：设BF=x，B′N=y，则有FN=4﹣x，在Rt△FNB′中，根据勾股定理得：y2+（4﹣x）2=x2，∵∠AB′F=90°，∴∠AB′M+∠NB′F=90°，∵∠B′FN+∠NB′F=90°，∴∠B′FN=∠AB′M，∵∠AMB′=∠B′NF=90°，∴△AMB′∽△B′NF，∴AMB′N =AB′B′F，即4y=6x，∴y=23 x，∴（23x）2+（4﹣x）2=x2，解得x1=9+3√5，x2=9﹣3√5，∵9+3√5＞4，舍去，∴x=9﹣3√5所以BF的长为2√3或9−3√5，故答案为2√3或9−3√5．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，注意分两种情况解答此题．三．解答题（共6小题）16．解下列方程：（1）9x2+6x+1=4（2）x2﹣4x﹣1=0．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（3x+1）2=4，开方得：3x+1=2或3x+1=﹣2，解得：x1=13，x2=﹣1；（2）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，开方得：x﹣2=±√5，解得：x1=2+√5，x2=2﹣√5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．为响应市收府关于”垃圾不落地•市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为“A：非常了解，B：比较了解C：了解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）把两幅统计图补充完整；（2）若该校学生数1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；（3）已知“非常了解”的3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．【分析】（1）先根据A选项人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以C的百分比求得C的人数、总人数减去A、B、C选项的人数求得D的人数，继而求出B、D的百分比可得；（2）总人数乘以样本中A、B的百分比之和可得答案；（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）∵被调查的学生人数为4÷8%=50，∴C选项的人数为50×30%=15人，D选项的人数为50﹣（4+21+15）=10，则B选项所占百分比为2150×100%=42%，D选项所占百分比为1050×100%=20%，补全图形如下：（2）估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有1000×（8%+42%）=500人，故答案为：500；（3）画树状图如下：共有12种等可能结果，其中满足条件有6种，∴P（一男一女）=1 2．【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．18．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG ⊥BC 于G ，根据S 菱形ABEF =12•AE•BF=BE•FG ，先求出FG 即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE=∠BEA ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ．∴四边形ABEF 是菱形．（2）解：作FG ⊥BC 于G ，∵四边形ABEF 是菱形，AE=6，BF=8，∴AE ⊥BF ，OE=12AE=3，OB=12BF=4，∴BE=√OB 2+OE 2=5，∵S 菱形ABEF =12•AE•BF=BE•FG ，∴GF=245，∴S 平行四边形ABCD =BC•FG=1925．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG ，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．19．如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m ，窗高CD=1.2m ，并测得OE=0.8m ，OF=3m ，求围墙AB 的高度．【分析】首先根据DO=OE=0.8m ，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE ，再证明△ABF∽△COF ，可得AB BF =CO OF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案． 【解答】解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=0.8m ，OE=0.8m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ，∴AB BF =CO OF ， x x+(3−0.8)=1.2+0.83， 解得：x=4.4．经检验：x=4.4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4.4m．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．20．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=11160≈2（人）． 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y 1=k x的图象与一次函数y 2=ax +b 的图象交于点A （1，3）和B （﹣3，m ）．（1）求反比例函数y 1=k x和一次函数y 2=ax +b 的表达式； （2）点C 是坐标平面内一点，BC ∥x 轴，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，连接AC ．若AC=√5CD ，求点C 的坐标．【分析】（1）由点A 在反比例函数图象上，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，由点B 在反比例函数图象上，可求出点B 的坐标，由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；（2）由BC ∥x 轴结合点B 的坐标可得出点C 的纵坐标，再由点A 的坐标结合AD⊥BC 于点D ，即可得出点D 的坐标，即得出线段AD 的长，在Rt △ADC 中，由勾股定理以及线段AC 、CD 间的关系可求出线段CD 的长，再结合点D 的坐标即可求出点C 的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y 1=k x的图象与一次函数y 2=ax +b 的图象交于点A （1，3）和B （﹣3，m ），∴点A （1，3）在反比例函数y 1=k x的图象上， ∴k=1×3=3， ∴反比例函数的表达式为y 1=3x． ∵点B （﹣3，m ）在反比例函数y 1=3x的图象上， ∴m=3−3=﹣1．∵点A （1，3）和点B （﹣3，﹣1）在一次函数y 2=ax +b 的图象上，∴{a +b =3−3a +b =−1，解得：{a =1b =2． ∴一次函数的表达式为y 2=x +2．（2）依照题意画出图形，如图所示．∵BC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为﹣1，∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADC=90°．∵点A 的坐标为（1，3），∴点D 的坐标为（1，﹣1），∴AD=4，∵在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+CD 2，且AC=√5CD ，∴(√5CD)2=42+CD 2，解得：CD=2．∴点C 1的坐标为（3，﹣1），点C 2的坐标为（﹣1，﹣1）．故点C 的坐标为（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）通过解直角三角形求出线段CD 的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．22.己知：在菱形ABCD 中,∠ABC =60∘,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 是线段BD 上一动点(不与点B ,D 重合)，连接AE ，以AE 为边在AE 的右侧作等边△AEF .(1)如图①，若点F落在线段BD上，线段AE、FD的数量关系是___；(2)如图②,若点F不在线段BD上,(1)中的结论是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)BE与BD满足___时,AE∥FD.考点：四边形综合题分析：（1）先利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；（2）先判断出△ACD是等边三角形，再用△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论；（3）先判断出四边形AEDF是菱形，进而求出∠EAD=30°，即可求出∠BAE=90°，即可得出BE=2DE，即可得出结论．解答：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠ABO=12∠ABC=30∘,∠ADO=30∘，∴∠OAD=60∘，∵△AEF是等边三角形，边EF在BD上，∴AE=AF,∠OAE=∠OAF=30∘，∴∠DAF=30∘=∠ADO，∵AE=AF，∴AE=FD；故答案为AE=FD；(2)成立,如图1,连接CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,BD垂直平分AC,∠ABC=∠ADC=60∘，∴∠ADC=60∘，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD,∠CAD=60∘，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF=EF,∠EAF=60∘=∠CAD∴∠CAE=∠DAF，在△ACE和△ADF中, AC=AD ∠CAE=∠DAF AE=AF，△ACE≌△ADF，∴EC=DF，∵BD垂直平分AC，∴DF=AE，(3)如图2,由(2)知，AE=FD，∵AE∥FD，∴四边形AEDF是平行四边形，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∴▱AEDF是菱形，∴AE=ED，∴∠EAD=∠ADE=30∘，∵∠BAD=180∘−∠ABC=120∘，∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=90∘，在Rt△ABE中,∠ABE=30∘，∴BE=2AE，∴BE=2DE，∴BD=BE+DE=3DE，BD，∴BE=23BD.故答案为BE=2323.如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E. F. G分别从A.B. C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动。