义务教育基础课程初中教学资料数学试卷（考试时间为120分钟，满分为120分） 班级______学号_______ 姓名分数_________一、选择题（每小题3分，共30分）. 1. 抛物线的对称轴为（ ）.()212y x =-+A ．直线 B ．直线C ．直线D ．直线1x =1x =-2x =2x =-2. 己知反比例数的图象过点（2，1），下列各点也在反比例函数图象上的xky =点是（ ）.A.（2，－1）B.（1，－2）C.（2，） D.（4，） 21213．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）. A ．2B ． 3C ．4D ．5第3题图 第5题图4. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到 23x y =的图象对应的二次函数解析式为（）.A. B. C. D. ()1232+-=x y ()1232-+=x y ()1232--=x y ()1232++=x y 5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为（）.A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°6. 在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象可能为下列中的（）.7. 如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ， 若△PAO 的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）.A. B.C. D.x y 4=xy 4-=x y 8=xy 8-=第7题图第8题图第10题图8． 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是2y ax bx c =++（）.A. a ＞0B. 不等式的解集是﹣1＜x ＜5 20ax bx c ++>C.D. 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大0a b c -+>9. 若抛物线（t 为实数）在的范围内与x 轴有公共点，243y x x t =-+-<<1032x 则t 的取值范围为（ ）.A.B. C. D.1 3 t -<<1 3 t -≤<53 4t <<1t ≥-10. 如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长 为（）.A. B.C. 1.5D.22632二、填空题（每空4分，共24分）. 11. 已知双曲线，如果A ()，B ()两点在该双曲线上， 3yx=11,b -22,b那么 ．(比较大小)1b 2b 12. 将抛物线y ＝x 2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式 为 .13．二次函数的部分对应值如下表：2y ax bx c =++当函数值时，的取值范围是 .0y <x第14题图 第15题图14. 已知：如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 、于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为24cm ，BC =10cm ，则AE =cm.15. 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ， 已知BC =8cm ，DE =2cm ，则AD 的长为cm.16. 已知二次函数的图象与x 轴交于(，0)和(，0)，其中c bx ax y ++=211x ，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；121x -<<-y 0>b 241b ac <a b >④．其中正确结论的序号是 ．a c a 2-<<-三、解答题（本题共18分，每题6分）17. 若二次函数的图象经过A （1，0）、B （2，－1）两点，求此23y ax bx =++二次函数的解析式.18. 已知：如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A (－1，2)、B (2，n )两点． xmy =x … －2 －1 0 1 2 3 …y …5－3－4－3…C（1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当kx +b ≥时x 的取值范围． xm19. 已知抛物线与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左 2)2(221-+++=m x m x y x 侧），对称轴为直线x =－1． （1）的值为；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；m x … … y……（2）若直线过点B 且与抛物线交于点（－2，－3），根据图象b kx y +=2P 直接写出当取什么值时，≤． x 2y 1y四、解答题（本题共22分，第20题7分，第21题7分，第22题8分） 20. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平 行四边形，求∠OAD +∠OCD 的度数．21. 如图，PB 切⊙O 于点B ，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线 BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ．（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，∶=1∶2，求⊙O 的半径r 的长．AD FD22. 已知二次函数y = x 2 – kx + k – 1（k ＞2）.（1）求证：抛物线y = x 2 – kx + k – 1（k ＞2）与x 轴必有两个交点； （2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若，求此抛物线的解析式；tan 3OAC ∠= （3）以（2）中的抛物线上一点P （m ，n ）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交.五、解答题（本题共26分，第23题10分，第24题7分，第25题9分） 23. 对于二次函数和一次函数，232y x x =-+24y x =-+把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+是不为零的实数，其图象记作抛物线E . 现有点A （2，0）和抛物线E 上的点 B （－1，n ），请完成下列任务： 【尝试】（1）当t =2时，抛物线的顶点坐标2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+为；（2）点A （填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为.【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为.【应用】二次函数是二次函数和一次函数2352y x x =-++232y x x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明24y x =-+理由.24. 如图，△ABC 外接圆⊙O 半径为r ，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ， AD 、BE 交于点K ，AK =r . 求∠BAC 的度数.25. 如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、 B （0，1）、C （d ，2）.（1）求d 的值；（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B ′、C ′ 正好落在某反比例函数图象上. 请求出这个反比例函数和此时的直线B ′C ′的解析 式；（3）在（2）的条件下，直线B ′C ′交y 轴于点G . 问是否存在x 轴上的点M 和反 比例函数图象上的点P ，使得以P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形. 如 果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.数学答案（考试时间为120分钟，满分为120分） 班级______学号_______ 姓名分数_________一、选择题（每小题3分，共30分）. 1. 抛物线的对称轴为（ A ）. ()212y x =-+A ．直线 B ．直线 C ．直线 D ．直线1x =1x =-2x =2x =-2. 己知反比例数的图象过点（2，1），下列各点也在反比例函数图象上的xky =点是（ D ）. A.（2，－1）B.（1，－2）C.（2，） D.（4，） 21213．如图，已知⊙O 的半径OA 的长为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ,则OC 的长为（ B ）. A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5第3题图 第5题图4. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 23x y =所得到的图象对应的二次函数解析式为（ D ）.A. B. C. D.()1232+-=x y ()1232-+=x y ()1232--=x y ()1232++=x y 5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为（ D ）.A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°6. 在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为（ B ）.7. 如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ， 若△PAO 的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ B ）. A. B.C. D.x y 4=xy 4-=x y 8=xy 8-=第7题图第8题图第10题图8． 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是2y ax bx c =++（ B ）. A. a ＞0 B. 不等式的解集是﹣1＜x ＜5 20ax bx c ++>C.D. 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大0a b c -+>9. 若抛物线（t 为实数）在的范围内与x 轴有公共点，243y x x t =-+-1032x <<则t 的取值范围为（ B ）. A.B. C.D.1 3 t -<<1 3 t -≤<53 4t <<1t ≥-10. 如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长 为（ B ）.A. B.C. 1.5D.22632二、填空题（每空4分，共24分）. 11. 已知双曲线，如果A ()，B ()两点在该双曲线上， 3y x=11,b -22,b 那么 > ．(比较大小)1b 2b 12. 将抛物线y ＝x 2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式 为 y ＝-x 2-1.13．二次函数的部分对应值如下表：2y ax bx c =++当函数值时，的取值范围是.0y <x 1 3 x -<<第14题图 第15题图14. 已知：如图，⊙O 是2cm.∆ABC cm BC cm AE 的周长为则2410,,==15. 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ， 已知BC =8cm，DE =2cm ，则AD 的长为 16. 已知二次函数的图象与x 轴交于(，0)和(，0)，其中c bx ax y ++=211x ，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④121x -<<-y 0>b 241b ac <a b >．其中所有正确结论的序号是___②④ ____．a c a 2-<<-三、解答题（本题共18分，每题6分）.x … －2 －1 0 1 2 3 …y …5－3－4－3…C17. 若二次函数的图象经过A （1，0）、B （2，－1）两点，求此23y ax bx =++二次函数的解析式.解： 二次函数的图象经过B （1，0）、C （2，－1）两点， 2y ax bx c =++∴ ………………………3分03,142 3.a b a b =++⎧⎨-=++⎩解得 …………………………………5分1,4.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为 . …………6分243y x x =-+18. 已知：如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A (-1,2)、B (2,n )两点． xmy =（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据函数图象，当kx +b ≥时，直接写出x xm的取值范围．解：（1）∵A （－1，2）在上，xm y = ∴．2-=m∴反比例函数的解析式是． 1分xy 2-=∵点B （2，n ）在上，xy 2-=∴，即B （2，－1）．………2分122-=-=n ∵A （－1，2）， B （2，－1）在上，b kx y += ∴， 解得． ⎩⎨⎧-=+=+-122b k b k ⎩⎨⎧=-=11b k∴一次函数的解析式是． 4分1+-=x y （2）由函数图象可知，x 的范围为x ≤－1或0＜x ≤2． 6分19. 已知抛物线与轴交于A ，B （点A 在点B 左侧）2)2(221-+++=m x m x y x两点，且对称轴为x =－1． （1）的值为 ；并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；m（2）若直线过点B 且与抛物线交于点（－2，－3），根据图象b kx y +=2P 回答当取什么值时，≤．x 2y 1y 解：（1）由题意得 .12-=-ab即:， 12)2(2-=+-m ∴ .…………………1分1m =-∴抛物线解析式为：.3221-+=x x y 令=0，即， 1y 2230x x +-= 解得 .123,1x x =-=∴ 点A （－3，0），点B （1，0） ∴ 抛物线的顶点坐标为（－1，－4）. 画出函数图象……………………4分.（3）由图象可知，当≤－2或≥1时，≤．. ……6分x x 2y 1y 四、解答题（本题共22分，20、21每题7分，22题8分）.20. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平 行四边形，求∠OAD +∠OCD 的度数．解： ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴ ∠B +∠D =180°． ………………..2分∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC =∠B ．………………..3分又由题意可知 ∠AOC =2∠D ．∴ 可求 ∠D =60°． ………………..4分 连结OD ，可得AO =OD ，CO =OD ．∴ ∠OAD =∠ODA ，∠OCD =∠ODC ． ………………..6分∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..7分21. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半径的长．AD FD解：（1）证明：如图，连接OB．∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．3分（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝12BC＝3．设AD＝x．∵∶=1∶2，AD FD∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．∴AD＝4，OA＝2x－3＝5．即⊙O的半径的长5．7分22. 已知二次函数y = x2 – kx + k – 1（k＞2）.（1）求证：抛物线y = x2 – kx + k - 1（k＞2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若，求抛物线的表达式；tan 3OAC ∠= （3）以（2）中的抛物线上一点P （m ,n ）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交.（1）证明：∵，… 1分()()2411k k ∆=--⨯⨯-()22k =-又∵， 2k >∴.20k ->∴即.2(2)0k ->0∆>∴抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x(2) 解：∵抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点，∴令，有. 0y =210x kx k -+-=解得：. ………3分 11x k x =-=或∵，点A 在点B 的左侧， 2k >∴. ()()1,0,1,0A B k -∵抛物线与y 轴交于点C , ∴. ………… 4分()0,1C k -∵在Rt 中, , AOC ∆tan 3OAC ∠= ∴, 解得. tan 311OAC OC k OA ∠=-==4k =∴抛物线的表达式为. ……… 5分243y x x =-+（3）解：当时，x 轴与相离. 6分2m <2m >+P 当或或时，x 轴与相切. 7分 2m =-2m =2m =P 当或时，x 轴与相交. … 8分22m <<22m <<P 五、解答题（本题共27分，23题10分，24题7分，25题9分）. 23. 对于二次函数和一次函数，把232y x x =-+24y x =-+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A （2，0）和抛物线E 上的点 B （－1，n ），请完成下列任务： 【尝试】（1）当t =2时，抛物线的顶点坐标为 .2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+（2）点A （填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为.【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为.【应用】二次函数是二次函数和一次函数2352y x x =-++232y x x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理24y x =-+由；解：（1）将t=2代入抛物线E 中，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=2x 2-4x=2（x-1）2-2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）；. ………2分 （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将x=2代入y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4），得 y=0， ∴点A （2，0）在抛物线E 上．. ………4分 ∵点B （-1，0）在抛物线E 上， ∴将x=-1代入抛物线E 的解析式中，得：n=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=6．……6分 （3）∵将抛物线E 的解析式展开，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=t （x-2）（x+1）-2x+4 ∴抛物线E 必过定点（2，0）、（-1，6）；……8分 （4）不是．∵将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，得y=-6≠6， ∴二次函数y=-3x 2+5x+2的图象不经过点B ．∴二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． ……10分24. 如图，△ABC 外接圆⊙O 半径为r ，BE ⊥AC 于E ，AD ⊥BC 于D ，BE 、AD 交于点K ，AK =r .求∠BAC 的度数. 法① 法②法③法④25. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）.（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得以P、G、M、C为顶点的四边形是平行四边形.如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.解：（1）作CN⊥x轴于点N在Rt△CNA和Rt△AOB中∵NC＝OA＝2，AC＝AB∴Rt△CNA≌Rt△AOB 1分则AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限，∴d＝－3 2分（2）设反比例函数为kyx，点C′和B′在该比例函数图像上，设C′（E，2），则B′（E＋3，1）3分把点C′和Ｂ′的坐标分别代入ky x=，得k ＝2E ；k ＝E ＋3， ∴2E ＝E ＋3，E ＝3，则k ＝6，反比例函数解析式为6y x=.4分得点C′（3，2）；B′（6，1）设直线C′B′的解析式为y ＝ax ＋b ，把C′、B′两点坐标代入得3261a b a b +=⎧⎨+=⎩5分∴解之得：133a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；∴直线C′B′的解析式为133y x =-+6分（3） 9分12321(,0),(3,0),(3,0)5M M M --。