1+1+1+ + 1 =nd
a1a2 a2a3 a3a4
anan+ 1 a1an+ 1
其中ana1n+1
1 1 =dБайду номын сангаасn
1 -
an+1

求 和 S n=1 1 3+3 1 5+5 1 7++2n -11 2n + 1
S n=1 2 1 -1 3+1 3-1 5+1 5-7 1++2 n 1 -1-2 n 1 + 1 =121-2n1+1=2nn+1
等差数列及前n项和
教学目标： 求和公式的性质及应用，Sn与an的关系以及
数列求和的方法。 教学重点：求和公式的性质应用。
难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法
引入 Sn=na1+nn 2-1d=d 2n2+ a1-d 2 n
可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的 二次函数，其二次项系数是公差的一半。
S奇S偶a中an,S S奇 偶=nn-1
若等差数列{an}共有2n项，则S偶-S奇=nd, S奇 = an S 偶 a n+1 如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44， 偶数项和为33，求数列的中间项和项数。
a中=11，n=7
性质5、{an}为等差数列，求Sn的最值。 若a1>0,d<0且aann+100，则Sn最大。 若a1<0,d>0且aann+100，则Sn最小。
A、25 B、35 C、36 D、45
8、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的 和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 B
A、9 B、10 C、11 D、12
9、等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, 则此数列前20项和等于 B
A、160
B、180 C、200 D、220
解1)：由题意
S12
=
a1
+a12 2
S13
=
a1
+a13 2
12=6a6+a7 >0
13=13a7 <0
a a7 6+ <a 07>0 a 2a 3+ 3+ 4d 7d <> 00 d d> <--3 2 7 4 -2 7 4<d<-3
(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和 相等。
随堂练习 1、在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于 C
A、3 B、4 C、6 D、12 2、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和 为100，则它的前3m项的和为 C A、130 B、170 C、210 D，260
3、设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前n项和，则 B
S m, S 2 m -S m, S 3 m -S 2 m仍 为 等 差 数 列 .
2、常用数列的求和方法：
1 1 2+ 2 2+ 3 2++ n 2= 1n n + 1 2 n + 1
6
213+23+33+ +n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
1、求和公式的性质：
性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn (a,b为常数)，则数列{an}是等差数列。
{an}是等差数列 Sn=an2+bn(a,b为常数)
性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则
n a n+1
S
n
=

n 2


2
an
2
+
a
n +1 2
A、S4<S5 B、S4=S5 C、S6<S5 D、S6=S5
4、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12， 前三项的积为48，则它的首项是 B
A、1 B，2 C、4 D、6
5、数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时， n=_1__2_或__1_3____ 6、在等差数列{an}中,已知前4项和是1，前8项 和是4，则a17+a18+a19+a20等于__9____ 7、已知在等差数列{an}中，a1<0,S25=S45,若Sn最 小，则n为 B


(n为奇数) (n为偶数)
如 ： S 1 7= a 1 + 2 a 1 71 7 = 1 7 a 9 ;S 1 8= 9a 9+ a 1 0
如：两个等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn
若 S11 = 23 , 则 a 6 = 2 3
T11 3 7
b6 37
反之呢？
性质3、等差数列平均分组，各组之和仍为
等差数列
即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列
如：{an}是等差数列， (1)a1+a2+a3=5，a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_15
a19+a20+a21=_3__5__
(2)Sn=25,S2n=100,则S3n=_2_2_5_
性质4、若等差数列{an}共有2n-1项，
或利用二次函数求最值。
性 质 6 ：
( 1 ) .在 等 求 差 数 列 的 五 个 量 a n , a 1 , d , n , S n 中 ， 知 三 求 二 .
（ 2 ） 等 差 数 列 前 n 项 和 可 写 为 S n n ( a m 2 a m n 1 )
(3 ).若 数 列 an为 等 差 数 列 ， 则
10、在小于100的正整数中，能被3除余2的这 些数的和是__1_5_6_0__
11、等差数列{an}中，首项a1>0,公差d<0,Sn为 其前n项和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。
Y
Y
C
O
X
A
Y
O
X
B
Y
O
X
C
O
X
D
补例 例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S5=5,S10=20，求S15. 解：∵S5，S10-S5，S15-S10成等差数列
∴2(S10-S5)=S5+S15-S10,
即30=5+S15-20 S15=45
例2、一个等差数列的前12项的和为354,前12项 中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d
解：由题意，列方程组得：S奇=162，S偶=192
S偶-S奇=6d=30
∴d=5
例3、设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.1)求公差d的取值范围 2)指出 S1,S2,…Sn,…中哪一个值最大，并说明理由 。