求前16项的和? 分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
巩固练习
1：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP, 求这10个数的和。
问题1：1+2+3+…+100=？
这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年） 10岁时曾很快求出它的结果。（你知00=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x10110,0x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n，… 的前100项的和。
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得
10nn(n1)454n26n27 0
2
n19，n23 (舍去) 等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
上面的公式又可以写成
Sn n1 an(n21)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式 5 个 共 a 1 量 ,涉 d ,n ,a n ： ,S 及 n .已 到 知 3 个 其 可 2 个
知三求二
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
复习回 顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/ （n-m）
(2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
解1： 法 SSn(ab)12(a 2b)(ab)5(ab) 解2法 ： x1x10ab, S10(x1 2x10 )5(ab)
2/(1).求1000以内能被11整除的所有自然数之和。
2/2 ()求 . 集 M合 m m7n,n N ,且 m10 的 0 元素
并求这些元素的和。
3.求一切被7除余1的三位数之和。
即 Sn=n(a1+an)/2
即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d
所以 Sn=na1+n (n-1)d/2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
120(112)0
S12 0
2
7260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
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