4d 9d

3, 8,
解得 a1=-1,d=1,所以 a100=-1+99×1=98. 方法二:由等差数列性质可知:
S9=
9a1a9 2
=
9
2a5 2
=9a5=27,故
a5=3,
而
a10=8,因此公差
d=
a10 10

a5 5
=1,∴a100=a10+90d=98.
14
例2(P44例2)已知一个等差数列 an 前10项的和是310，
例3( P 44例3)已知数列an 的前n项和为Sn

n2

1 2
n，求这个
列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
项与公差分别是什么？
【解析】根据Sn = a1 + a2 + …+ an-1 + an与 Sn-1 = a1 + a2 + …+ an-（1 n > 1），
可知，当n > 1时，
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn

n(a1 2
an ) .
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
8
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an的前n项和Sn .
a1 5, a10 95, n 10.
【解析】S10
=
10×(5 + 95) = 2
500.
9
探究点2 等差数列的前n项和公式的其他形式
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ 45d = 310， +190d = 1 220.
15
解这个关于a1与d的方程组，得到
a1 = 4，d = 6,
所以Sn
=
4n
+
n（n - 1）×6 2
=
3n2
+
n.
【规律总结】 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量.
多1少00个个110011 ?
5
所以S100= 12(1+100)×100 =5 050
？总和

1 2
( 首项？ ＋ ？尾项 ）
？项数
这就是等差 数列前n项和
Sn

n(a1 2
an )
的公式！
6
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
Sn

n(a1 2
an ) .
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an,
=7
250（万元）.
答：从2001 2010年，该市在“校校通”工程中的总 投入是7 250万元.
13
【变式练习1】
(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前 9 项的和
为 27,a10=8,则 a100= ( C )
A.100 B.99 C.98 D.97
【解析】选
C.方法一:由题意可知, aa11
4
探究点1 等差数列的前n项和公式
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
+ +++
+ + +加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
【解析】S50
= 50×100 + 50×（50 - 1)×(-2)= 2
2
550.
11
例1(P43例1)2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算， 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为 了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市 在“校校通”工程中的总投入是多少？
Sn

（ n a1 2
an )
an a1( n1)d
Sn

na1

（ n n 1) 2
d
A d
2
,Ba1 d2
Sn

An2 Bn
10
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an的前n项和Sn .
a1 100,d 2, n 50.
前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的
前n项和的公式吗？
【解题关键】将已知条件代入等差数列前n项和的公式
后，可得到两个关于 a1与d的二元一次方程，由此可以 a1求得 与d，从而得到所求前n项和的公式.
【解析】由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1,

+得：
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
7
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结
果，如何算的呢？
高斯
我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
2
1+2+3+···+100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
3
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； (重 点） 2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题．（难点）
让我们归 纳一下！
16
【变式练习2】
（2014·福建高考）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( C )
A．8 B．10 C．12
D．14
【解析】选 C.由已知条件得，a1=2,3a1+3d=12，解得 a1=2,d=2，所以 a6=a1+5d=12．
17
12
【解析】根据题意，从2001～2010年，该市每年ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ入
“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，
可以建立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入
的资金，其中 a1 = 500,d = 50.
那么，到2010年（n = 10），投入的资金总额为
S10
= 10×500 + 10×（10 - 1）×50 2
an = Sn - Sn-1
= n2 + 1 n -[（n - 1）2 + 1（n - 1）]= 2n - 1 .