(2)当1 a 0时，y = at是单调减的， f (x)的增区间就是原函数的减区间； f (x)的减区间就是原函数的增区间。
例4：求函数y = 2x22x的单调区间.
例5：求函数y = (1)x2 2x的单调区间. 2
关于x轴对称
于y轴对称
关于原点对称
四﹑翻折变换
4﹑试画出函数y=|x2-3x+2)|的图象,并指出它与函 数y= x2-3x+2的图象之间有怎样的变换关系?
若将函数y=| x2-3x+2 |该为函数y=x2-3|x| +2),会 有何变化?
函数图象的翻折变换规律：
上下翻折:
翻
只保留y=f(x) x轴上方图象来自折y=f(x)
y=|f(x)|
并将x轴下方图象沿x轴进行翻折
变
换
左右翻折: 只保留y=f(x) y轴右侧图象
y=f(x)
y=f(|x|)
并将y轴右侧图象沿y轴进行翻折
识图
1．f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 (B )
识图
4.函数y=
1
的图象大致是(B )
x 1
1 x 1
1
由函数y= x 的图象向左平 移一个单位长度可得.
(x≥0) (x<0)
.图象如下图(3)．
变式迁移 1 作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝(12)|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|. 解：(1)先化简，再作图． y＝x－2－x2x＋－x2＋2(x≥(x2<)2) .(如下图(1))．
绘图
变式迁移 1 作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝(12)|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|. 解：(2)此函数为偶函数， 利用 y＝(12)x(x≥0)的图象进行变换．(如下图(2))．
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x) 则 y=f(u)
内函数 外函数
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)的
3.函数图象变换的应用: ①作图﹑② 识图﹑ ③用图
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y = f (x) 在区间I上是单调增函数。
y=ax y (0<a<1)
1
O
x
y y=ax
(a>1) 1
O
x
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法)
函数图象的三大变换方法
平移
对称
翻折
一﹑平移变换
1.讨论函数 y = x 2 与 y = x 2 2 ,y = (x 1)2
单调性共同决定。它们之间有 法
如下关系：
则
同
f(u)
增
g(x)
异
减
f[g(x)]
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则原函数为增函数；若有两个函数单 调性相反，则原函数为减函数。
指数型复合函数单调性探究
定义域 值域 单调区间
y = 2x1 R y = 2x1 1 R
y = 2|x| R
y = ( 1 )|x| 2
R
(0,+∞)
R
(1,+∞) [1,+∞)
R (-∞,0] 减，[0,+∞)增
(0,1] [0,+∞减) ，(-∞,0] 增
总结 y = a f (x)的单调区间？
(1)当a 1时，y = at是单调增的， f (x)的增区间就是原函数的增区间； f (x)的减区间就是原函数的减区间。
函数图象是研究 函数的重要工具,它能 为所研究函数的数量 关系及其图象特征提 供一种”形”的直观 体现,是利用”数形结 合”解题的重要基础.
1．几种函数的图像 函数
图像
一次函数 y＝kx＋b
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
图像
2. 指数函数
解析式: y = ax (a>0, 且a≠1).
图象特点:
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y = f (x) 在区间I上是单调减函数。
函数的单调性是函数的局部性质。
二.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x)的 复合函数
复合函数的单调性
的图象之间的关系.
y
y = x2 2
归纳：
y = x2
左右平移:
左正右负
平 移
y=f(x) 平移|h|个单位 y=f(x+h)
2 1
y = (x 1)2
变
-1 0
1
x
换 上下平移:
上正下负
y=f(x)
y=f(x)+k
平移|k|个单位
三﹑对称变换
2﹑设f(x)= 1x_(x>0),说出函数y=-f(x)、 y=f(-x)、
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解： (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
y=-f(-x) 与y=f(x)的图象关系。
y
y
y
y=f(x)
y=f(-x) y=f(x)
y=f(x)
o1 x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数
o1 x
o1 x 对
y=-f(-x)
称
变
横坐标取相反数
横坐标、纵坐标 换
纵坐标不变
同时取相反数
y=f(x)与y=-f(x)图象 y=f(x)与y=f(-x)图象关 y=f(x)与y=-f(-x)图象
绘图
小结
1. 画函数图象的简图时，往往要先找出该函数的基本初等函数， 再分析其通过怎样的变换(平移、对称等)而得到。有时要先对 解析式进行适当的变形。（分段函数）
2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即找不到该 函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定义域、讨论函数的 性质（如单调性、奇偶性、特殊点、特征线等),再用描点法或图 象变换法得出图象。
识图
5．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示，其中
a、b为常数，则下列结论正确的是( D )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 因图象是递减的，故0<a<1.又图 象是将y＝ a x的图象向左平移了，故b<0
识图
【例1】回答下述关于图象的问题： (1)向形状如右图，高为H的水瓶注水，注满为 止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V＝f(h) 的图象是下图中的( A )