函数图象与曲线的方程例题讲解一、函数图像利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质．在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路．例１．试判断函数：⎩⎨⎧++∈-+∈=)22,12(,1)12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性．分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决．解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图．由图知，函数)(x f 是奇函数．例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12,12(+-k k，已知当0I x ∈时，2)(x x f =．(1)求)(x f 在I k 上的解析表达式；(2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案．当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是：)11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现．O所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]121,0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的．解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(， ∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=，即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=．（2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =- 整理得 04)4(22=++-k x a k x).8(16)4(22k a a k a k +=-+=∆方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足[][])8(42112)8(421120)8(k a a a k k k a a a k k k a a +++≥++-+<->+解不等式组得1210+≤<k a ． ∴所求集合为M k =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤<1210k a a ．说明：函数图像可以帮助我们理解题意，寻求思路，并可以帮助我们检验结论．例３．已知c bx x x f +-=2)(，且)(),()2(,3)0(R x x f x f f ∈=-=，则（ ）(A))()(xx c f b f ≥ (B))()(xx c f b f ≤(C))()(x x c f b f <(D))()(xxc f b f 和大小不定．分析：)(x b f 与)(x c f 的大小取决于两个条件： (1)xb 与xc 的大小；(2)xb 与xc 在)(x f 的增区间中还是减区间中； 因此解决本题要抓住这两个环节． 由3)0(=f 可知c 值；由)()2(x f x f =-可知1=x 是函数图像的对称轴，从而可知b 的值．解法一：.3,3)0(=∴=c f)()2(x f x f =- 对任何实数x 成立， )(x f ∴的图像关于直线1=x 对称． .2=∴b函数x x y y 3,2==的图像如图所示． 可见，0>x 时，.123>>x x此时，xx 2,3同在)(x f 的增区间中，故)2()3(x x f f >，即).()(x x b f c f > 当0=x 时，x x 23=，∴)2()3(x x f f =，即 )()(xx c f b f =．当0<x 时，123<<x x ，此时，xx 2,3都在)(x f 的减区间内，故)2()3(x x f f >，即)()(xx b f c f >．综上所述，对任意R x ∈，总有).()(xxc f b f ≤故应选（Ｂ）． 解法二：3)0(=f ，∴c=3．)()2(x f x f =- 对任何实数x 成立，∴)(x f 的图像关于直线1=x 对称．∴ b =2 考虑幂函数,αx y =当0>α时，αx 在),0(+∞上是增函数， 当0<α时，αx 在),0(+∞上是减函数．因此有，0>x 时，12323>>⇒>xx ．x 3，x 2都在)(x f 的增区间，所以)2()3(x x f f >．即)()(x x b f c f >．0<x时，12323<<⇒>x x ，x x 2,3都在)(x f 的减区间上，所以有),2()3(x x f f >即)()(x x b f c f >．而当0=x 时，xx b c =，所以).()(x x c f c f =故∈x R 时，总有)()(x x c f b f ≤． 应选Ｂ．错解：.3,0)0(=∴=c f)()2(x f x f =- 对任何实数x 都成立，∴ f (x )的图像关于直线x =1对称，∴b =2∵3>2，∴3x >2x ，∴f(3x )>f(2x )．即f(b x )<f(c x)． 而x =0时3x =2x ，所以f(b x )=f(c x)． ∴总有)()(xx c f b f ≤．选Ｂ．说明：本题把一元二次函数，指数函数，幂函数的性质综合在一起，对于考察学生对函数基本性质及函数图像的掌握情况作用不小，但以选择题形式出现，有些地方就没有完全体现出来，如上面的错解，事实上，.2323x x>≠>>例４：已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图，则(Ａ))0,(-∞∈b (Ｂ))1,0(∈b (Ｃ))2,1(∈b(Ｃ)),2(+∞∈b分析：给了三次函数的图像，欲求二次项系数b 的范围，情景新，没有现成套路，只能从形上多找信息．从图像知，三次函数图像过（０，０），（１，０），（２，０）三点，故1,0==x x 和2=x 是方程0)(=x f 的三个根，又知在不同区间数值的正负及单调性，再注意到选择题的解法可获如下思路．解法一：由图知0，1，2是方程0)(=x f 的三个根，代入得0,32,3=-=-=d bc b a∴x b bx x b x f 323)(23-+-=． 又0)21(>f 得0<b ，故选Ａ．解法二：由图知，０，１，２是方程0)(=x f 的三个根， ∴可设f(x)=ax(x －1)(x －2)=ax 3－3a 2+2ax∴b=－3a又0)1(<-f ∴0>a ∴0<b ．解法三：由0)0(=f 及0)1(=f 得：0=++c b a ①又0,0)1(>-+-∴<-c b a f ② ①＋②得 0<b ．说明：三种解法都紧扣目标，“求b 的范围”考查了消元，化归及待定系数法等重要方法及转化，函数，方程等数学思想，特别是抓住图形提供的信息，采取有效办法直奔目标，化为熟知问题，以便解决．例５．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图１的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图２的抛物线表示．图１ 图２ (1)写出图１表示的市场售价与时间的函数关系式);(t f p =写出图２表示的种植成本与时间的函数关系式);(t g Q =(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿的收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位；元／１０２kg ，时间单位：天）分析：本题是2000年高考的第２１题，主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数的最大值的问题，考查运用所学知识解决问题的能力．解：（１）由图（１）可得市场售价与时间的函数关系为：⎩⎨⎧≤<-≤≤-=;3002003002.2000300)(t t t t t f由图２可得种植成本与时间的函数关系为：3000,100)150(2001)(2≤≤+-=t t t g ; (2) 设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得：).()()(t g t f t h -=即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.300200,21025272001,2000,2175212001)(22t t t t t t t h当2000≤≤t 时，配方整理得：100)50(2001)(2+--=t t h ． 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间［0，200］上的最大值100； 当300200≤<t 时，)(t h 取得区间(200，300)上的最大值87．5．综上，由5.87100>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取到最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．说明：图像法和解析法是表示函数的最基本方法．曲线与方程的理论，参数方程的概念都是中学数学重要的基础知识．本题提出问题的背景是现实的，提供的信息是用图示的方式直观形象表现出来的，若能在头脑中形成“图像———函数—方程”的意识，利用熟知的折线段，抛物线，用解析式表示函数图像，定性地反映问题本质，便可顺利找到思路，再加上对二次函数性质的运用，便可顺利求解．二．图像变换例6．函数)252sin(π+=x y 的图像的一条对称轴是(A)2π-=x(B)4π-=x(C)8π=x(D)45π=x 分析：将45.8,4,2ππππ--=x 分别代入函数),252sin(π+=x y 求得分别对应的函数值,22,0,1-0，其中1-=y 是函数的最小值，故选A ． 说明：这是一道考查正弦函数的图像的几何特征的题目，而求解的方式是检验自变量的值与对应的函数值的数量关系，简便有效．如果通过作函数)252sin(π+=x y 的图像—正弦曲线以及相应的直线，也可以得到正确的结果 ，只是对图像变换的要求比较高．事实上，对于函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中R x ∈)，过曲线的一个最高点或一个最低点且垂直于x 轴的每一条直线，都是曲线的对称轴．我们证明如下：设A a f ±=)(，则ω)(2Z ∈+=+k k a ππϕ这时，对任意k t ∈，)()(t a f t a f --+[][]ϕωϕω+--++=)(sin )(sin t a A t a A 0sin )sin(2=+=t a A ωϕω恒成立，即)()(t a f t a f -=+恒成立，因此)(x f 的图像关于直线a x =对称．借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻划，是函数图像及其应用的重要组成部分．例2．函数)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式是：(A)4)(+=x x f (B)x x f -=2)( (C)13)(+-=x x f(D)13)(++=x x f ．分析：本题涉及函数解析式，奇偶性，周期性等问题．从不同角度入手，也可有不同解法．下面我们借助函数图像加以讨论．解：依题意在区间[2，3]上，函数的图像是线段AB ∵函数周期是2，∴把线段AB 左移两个单位得[0，1]上的线段CD ；再左移两个单位得[－2 ，－1]上的图像线段EF ．∵函数是偶函数，∴把线段CD 沿y 轴翻折到左边，得[－1，0]上的图像线段FC ． 于是由直线的点斜式方程，得函数在[－2，0]上的解析式：[](]⎩⎨⎧-∈++---∈++=0,13)1(1,22)2()(x x x x x f即[](]⎩⎨⎧-∈+---∈++=0,1)1(31,2)1(3)(x x x x x f由于]1,2[--∈x 时，x+1≤0]0,1(-∈x 时，x+1>0[].0,213-∈+-=∴x x y例3．已知函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212 (1) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合;(2) 该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 分析：本题是全国2000年高考理科第17题，主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．解：(1)1cos sin 23cos 212+⋅+=x x x y 452sin 432cos 411)cos sin 2(4341)1cos 2(412++=+++-=x x x x x .45)62sin(2145)6cos 2sin 6sin 2(cos 21++=+⋅+⋅=πππx x xy 取得最大值必须且只需,,2262Z ∈+=+k k x πππ即.,6Z ∈+=k k x ππ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{}z k k x x ∈+=,6ππ．(2)将函数x y sin =依次进行如下变换： ①把函数x y sin =的图像向左平移,6π得到函数)6sin(π+=x y 的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数)62sin(π+=x y 的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标缩短到原来的21倍，(横坐标不变)，得到函数)62sin(21π+=x y 的图像； ④把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21++=πx y 的图像；综上得到函数1cos sin 23cos 212+⋅+=x x x y 的图像． 说明：由于函数的图像变换与变换顺序可以有不同选择．所以本例(2)的变换方式不唯一．如也可将函数)(sin R x x y ∈=的图像依次作如下变换．①把函数x y sin =图像上各点横坐标缩短为缩短为原来的21(纵坐标不变)，得到x y 2sin =的图像．②把得到的图像向左平移12π，得到函数)62sin()12(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x y 的图像; ③把得到的图像上各点纵坐标缩短为原来的21(横坐标不变)，得到)62s i n (21π+=x y 的图像; ④把得到的图像上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21++=πx y 的图像; 综上得到1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图像．例4．已知,121)(xxx f +-=函数)(x g y =的图像与函数)1(1+=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则=)5(g ．分析：依题意知)(x g y =是)1(1+=-x f y 的反函数，只要把)1(1+=-x f y 反函数求出即可．怎样得到)1(1+=-x fy 的反函数就成为解决本题的关键．解法一：由x x y +-=121得,21x xy y -=+解出x ，得)2(21-≠+-=y y yx .32)1()1(1)1().2(21)(11x x x x x f x x xx f y +-=+++-=+∴-≠+-==∴--设x x y +-=3，去分母得x xy y -=+3，解出x ，得 ).1(13-≠+-=y y yx )1(1+∴-x f 的反函数).1(13)(-≠+-=x xxx g.255153)5(-=+⨯-=∴g 解法二：如图，)(x f 和)(1x f-互为反函数，当)(1x f -的图像沿x 轴负方向平移1个单位时，作为“镜面”的另一侧图像)(x f 的图像一定向下平移1个单位，因此，)1(1+-x f 的图像与1)(-x f 的图像仍保持关于直线xy =对称．故)1(1+-x f的反函数是.1)()(-=x f x g.251)5()5(-=-=∴f g解法三：)1(1+=-x fy[].1)(1)()1()(1-=⇒+=⇒+=⇒-y f x x y f x f f y f)1(1+=∴-x f y 的反函数是.1)()(-=x f x g.251511011)5()5(-=-+-=-=∴f g 解法四 (错解)依题意．)(x g 是)1(1+=-x f y 的反函数，而)1(1+=-x f y 的反函数是221)1(+--=+x x x f ，即.711)5(.212)(-=∴++-=g x x x g 说明 解法四的错误原因是误认为)1(1+-x f 的反函数是)1(+x f ，忽略了)1(1+-x f 中的x 对应看它的反函数中的因变量)1(,1+-x f y 中的“加”对应着“减”，于是)1(1+-x f 与1)(-x f 对应．解法二从图像的运动变化中，探求出)1(1+-x f 的反函数．体现了数形结合的优势，体现了图像变换的作用．三．函数图像与方程曲线函数图像与曲线方程的联系十分密切，运用十分广泛，从代数到几何的各种问题中处处都有其优美的例证，尤其是笛卡尔直角坐标系这一划时代的创造，更使数形结合充满着勃勃生机．其中几何问题代数化是中学数学里解析几何的基本任务．也是中学数学的必修内容．例１ 给定实数,1,0,≠≠a a a 设函数11--=ax x y (其中R x ∈且ax 1≠)． 求证．(1)经过这个函数上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．(2)这个函数的图像关于直线x y =成轴对称图形．分析：由于给出了函数的解析式，故可反解知函数存在反函数，且原函数与反函数为同一函数．根据函数必须是一一映射才存在反函数，且原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，于是第(1)，(2)两小题同时得证．解 由)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得.1)1(-=-y x ay ① 若01=-ay ，则由0≠a 有ay 1=，而由①可有1=y ， 于是得1,11=∴=a a．与1≠a 矛盾，.01≠-∴ay由①得 )1,(11ay R y ay y x ≠∈--=即)1,(11)(1ax R x ax x x f≠∈--=-即函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=的反函数是其本身．命题得证．说明：本题为高考题，需要正确理解数学概念（如函数图像、反函数、轴对称图形等概念），并在此基础上灵活地综合运用代数、解析几何知识（如互为反函数的图像之间的关系，两条直线平行的条件等），进行推理论证．另证一：设),(),,(222111y x M y x M 为函数图像上两个不同的点，且21M M ‖x 轴，即21x x ≠且21y y =，那么11112211--=--ax x ax x ． 即 1.)(2121=∴-=-a x x x x a ．与1≠a 矛盾，假设不成立． 故图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行．另证二： 设),(),,(212111y x M y x M 为函数图像上两个不同点，,21x x ≠ 则)1)(1()1)((11111212112212----=-----=-ax ax a x x ax x ax x y y 2121,,1y y x x a ≠∴≠≠ 得证．另证三 任取一条与x 轴平行的直线y = m ．(m 为实常数)．解方程组 ,11⎪⎩⎪⎨⎧--==ax x y m y 得.1)1(-=-m x ma当1=ma 即a m 1=时，由1≠a 知无解;当1≠ma 即am 1≠时，有唯一解11--=ma m x ．故平行于x 轴的直线与所给函数图像或者不相交，或者恰有一个交点． 故函数图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行． 例2 设R a ∈，解关于x 的不等式：.222a x x a +>-分析：这是一个含字母系数a 的无理不等式的求解问题，由于字母a 的制约因素较多．求解时既要对字母系数a 进行讨论， 又要对相应的图形进行思考和对照．解：当0=a 时，不等式变为x x >-22，由于22x -的定义域是｛０｝，而0=x 时，不等式00>不成立，原不等式的解集是空集∅．若0≠a ，则原来不等式⇔（Ⅰ）⎩⎨⎧<+≥-00222a x x a 或（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-22222)(2002a x x a a x x a当0>a 时，（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤-⇔.,2222a x a x a 由于.22a a -<-此不等式组无解． （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≥≤≤-⇔.032.,2222x a a x a x a 由于.03222<-<-<-a a a 此不等式组的解是.032<<-x a 当0<a 时，（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤⇔..2222a x a x a 由于a a a -<-<2222，此不等式组的解是.2222a x a -≤≤ （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<<-≥-≤≤⇔.320.2222a x a x a x a 由于a a a -<-<-2232，此不等式组无解． 综上可知，当0<a 时，不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤a x a x 2222|;当0=a 时，不等式的解集是空集ø;当0>a 时，不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-032|x a x ．说明：借助于函数的图像与方程的曲线，可以对题意理解得更清楚、准确，并对所得的解集进行有效的检验．设222x a y -=，当0≠a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=+≥⇔-=1,022222222a y x y x a y a ，可知它的图像是以原点为中心，焦点在y 轴上的椭圆的上半部分(包括短轴的两个端点)，其半长轴为a ，半短轴为a 22，与x 轴交于)0,22(a ±两点，与y 轴交于点),0(a ，而函数a x y +=的图像是斜率为1，纵截距为a 的直线． 如左图，当0>a 时，此直线交上半椭圆于)31,32(a a -和(0，a )两点，因此半椭圆位于直线上方部分各点横坐标的集合是区间)0,32(-．如右图，当0<a 时，此直线位于半椭圆的下方，与半椭圆无交点，因此原不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤a x a x 2222|就是椭圆上各点横坐标的集合． 当0=a 时，22x y -=的图像是坐标原点，而直线x y =通过原点，原不等式无解．联想代数问题的几何背景，对深化数形结合的思想方法的理解，提高分析问题和解决问题的水平是十分重要和有益的．例3 已知函数)(x f 是函数)(11102R x y x∈-+=的反函数，函数)(x g 的图像与函数134--=x xy 的图像关于直线1-=x y 成轴对称图形．记).()()(x g x f x F += (1) 求函数)(x F 的解析式及定义域;(2) 试问在函数)(x F 的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直．若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由．分析：本题涉及函数图像、对称变换及直线位置关系等曲线方程与函数图像内容，需要我们把握住相互联系，集中解决．解：(1) 由)(11102R x y x ∈-+=，得yy x +-=1110 ,y yx +-=11lg)11(11log)(<<-+-=∴x xxx f 设点),(y x P 点函数)(x g 图像上任一点，点P 关于直线1-=x y 的对称点是Q ),(b a ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=--.122.1a x b y ax by ,解得⎩⎨⎧-=+=.11x b y a∴点Q 在函数134--=x xy 的图像上， ,1)1()1(341-++-=-∴y y x解得 .21+=x y 即 ).2(21)(-≠+=x x x g.2111lg )()()(,+++-=+=x x x x g x f x F 综上 )(x f 的定义域为(－1，1)．(2)假设函数)(x F 的图像上存在两个不同的点),(),,(2211y x B y x A ，使直线AB 与y 轴垂直，其中)1,1(,21-∈x x ，即当21x x ≠时有21y y =，不妨设21x x <，)()(1212x F x F y y -=-)2111(lg )2111(lg111222+++--+++-=x x x x x x①)2)(2()1)(1()1)(1(lg12211212++-+-++-=x x x x x x x x ,1121<<<-x x,11021x x +<+<∴ ,01121>->-x x,1110,11101221<-+<<++<∴x x x x ,1)1)(1()1)(1(01221<-+-+<∴x x x x,0)1)(1()1)(1(lg1221<-+-+∴x x x x.0)2)(2(,0,02,02,11,1221212121<++-∴<->+>+∴<<<-x x x x x x x x x x 同样 由①、②、③得 012<-y y ，这与21y y =相矛盾．所以，函数)(x F 的图像上不存在两上不同的点A 、B ，使直线AB 与y 轴垂直． 说明：由直线y AB ⊥轴与A 、B 纵坐标相同这一转化，将直线位置关系问题转化为纵坐标数量大小的比较，为解决问题提供了思路．例4 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ．① 解不等式：1)(≤x f ．② 求a 的取值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数．分析 这是二○○○年全国高考理科19题，主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算推理能力．解：(1)不等式1)(≤x f ，即ax x +≤+112．由此得ax +≤11即0≥ax ，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x②③即 ⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ; 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ． (2)在区间),0[+∞上任取21,x x ，使21x x <，.)11)(()(11)(11)()(22212121212221222121222121a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f -++++-=--+++-=--+-+=-① 当1≥a 时，011,111222121222121<-++++∴<++++a x x x x x x x x． 又0)()(,02121>-∴<-x f x f x x ． 即 )()(21x f x f >．所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ②当10<<a 时，在区间),0[+∞上存在两点22112,0a ax x -==，满足1)(1=x f ，1)(2=x f ，即)()(21x f x f =，所以函数)(x f 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数． 说明 对于第(1)小题，可以从几何角度审视条件，从而得出相应的解法． 另解： 1)(≤x f 即111122+≤+⇔≤-+ax x ax x ．证1,1221+=+=ax y x y ．在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，y 1图像是实、虚轴长均为2的等轴双曲线的上支，y 2图像为过点(0，1)，斜率为正数a 的直线．如图：当10<<a 时，由左图知，所给不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ，当1≥a 时，由右图知，所给不等式的解集为{}0|≥x x ，其中212a a-为点c 的横坐标，该坐标可由方程22)1(1+=+ax x 中解出．例5 设动直线l 过定点A (2，0)，且与函数22+=x y 的图像交于两不同点B 和C ．点B 、C 在x 轴上的射影分别是B´，C´，P 点线段BC 上的点，且适合关系式ιιCCBBPC BP =，求POA ∆重心Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形?分析：Q 点的位置取决于P 点，P 是动线段BC 的一个分点，P 点的位置随动线段BC 位置的变化而变化，而BC 的位置取决于动直线 的斜率，因此可选动直线 的斜率为参数．解 设).,(),,(),,(),,(2211y x C y x B y x Q y x P ιι 动直线).2(:-=x k y⎩⎨⎧+=-=2)2(2x y x k y 由 得 0222=++-k kx x ． 由0882>--=∆k k有624-<k 或624+>k ．21122121'21''21211,y y y x y x x x x y y CCBB y y y y ++=++=∴=.)2(41224424)()(22)2()2()2()2('212121211221≠-+=-+=-++-=-+--⋅+-⋅=x k k k x x x x x x x k x k x k x x k x整理得()442''+=-x x k ． 又)2('-'=x k y ，44'+'=∴x y ．这就是P 点的轨迹方程．)441(12412)2(''-+=-=-=k k k x k y 且2≠x ， 又624-<k 或624+>k ．)6412,6412('+-∈∴y 且12'≠y ．∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=332''y y x x ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴.323''y y x x 代入44''+=x y 中得.4)6344,6344(04312≠+-∈=--y y y x 且 ∴轨迹为直线04312=--y x 介于63446344+<<-y 间的一段，且除(34，4)． 例6 已知x y x 4422=+，求22y x +的最值．分析：本题是条件最值问题，可以从代数条件直接求解，也可分析几何背景从图形角度进行突破．思路一：设22y x u +=，则22x u y -=代入原方程得x x u x 4442=-+， 即x x u 4342+=．]4,0[31)32(432∈-+=∴x x u当0=x 时，0=miu u 即0)(min 22=+y x ， 当4=x 时，16max =u 即16)(max 22=+y x ．思路二 把x y x 4422=+化为14)2(22=+-y x ． 它的图形是椭圆，设⎩⎨⎧=+=θθsin cos 22y x (θ为参数)．则θθ2222sin)cos 2(++=+y x5cos 8cos 32++=θθ)2,0[31)34(cos 32πθθ∈-+= ∴当1cos =θ时，16)(max 22=+y x ，当1cos -=θ时，0)(min 22=+y x ．思路三 如果把22y x +看作点(x ， y )到原点距离的平方，本题则变为求椭圆14)2(22=+-y x 上的点到原点的距离的平方的最值．由图知，椭圆上到原点最近的距离为0，最远的距离为4，则22y x +的最小值为0，最大值为16．例7 已知集合{},,4|2R t it t z z M ∈+-=={}R i z z N ∈++==θλθθλ,,)cos 2(sin 3|，若∅≠⋂N M ，求实数λ的取值范围． 分析： ∅≠⋂N M 的意思是两个集合有公共的元素，从复数角度看，两个集合中至少有一对相等的复数；从几何角度看，这两个集合都是点集，各表示一条曲线，那么∅≠⋂N M 就是两曲线有公共点，下面从方程曲线的角度给出解题思路． 解：设149)(cos 2cos 3,2=+-∴⎩⎨⎧=+=∈+=y x y x N yi x z λθθλ则． 设2244,,,y x ty t x R y x M yi x z -=⇒⎩⎨⎧=-=∈∈+=则．∴在坐标平面上与z 对应的点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+--=149)(4222y x y x λ 方程①的曲线是以(4，0)为顶点，x 轴为对称轴，开口向左的抛物线．方程②的曲线点以)0,(λ为中心，半长轴为3的动椭圆．如图，易知．7>λ时， ∅≠⋂N M ;故.7≤λ又由①，②消去2y ，得36)4(9)(42=-+-λλx ．即04)98(422=++-λλx x由064)98(22≥-+=∆λλ得169-≥λ． 7169≤≤-∴λ． 例8 已知1,0≠>a a ，试求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围．分析 求k 的取值范围，就要构造k 满足的不等式，依据什么去构造k 的不等式? 从方程的角度看，原方程等价于：① ②⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-22222)(00ax ak x a x ak x 从中解出x ，代入上述关系式构造k 的不等式; 从函数的角度看，等式22a x ak x -=-告诉我们，k 是x 的函数，本质上是求函数值域;从数形结合的角度看，方程ak x y -= 和 22a x y -=表示的曲线应当有公共点，这样根据图形的性质及特征可以建立k 的不等式．下面从函数图像与方程曲线角度给出两种思路．解法一 设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22a x y ak x y 在直角坐标平面y x 0上，方程①的曲线是平行直线系，方程②的曲线是等轴双曲线222a y x =-位于x 轴上方的部分，不含)0,(a ±．由图可知，直线①与②的右支相交的充要条件是①的截距在0和a 之间取值即;10<<∴k ,0a ak <<直线①和②左支相交的主要条件是①的横截距小于－a ，即a ak -<1-<∴k综上，k 在取值为10<<k 或1-<k ．解法二 设⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=22a x b x ka b ① ②③ ④在直角坐标平面上，方程③表示纵截距为x 的直线系(不含纵轴)，方程④表示以原点为圆心，以x 为半径的圆位于第一象限的弧． (1)当0>x 时，由图知，直线③与圆弧④有公共点的充要条件是横截距大于x ，即x k x>10<<∴k ．(2)当0<x 时，由图知，直线③与圆弧④有公共点的充要条件是横截距在O 和－X 之间．即 x k x-<<01-<∴k ．综上，1-<k 或10<<k ．说明 变换角度看问题，是我们处理问题的一个方面．。