函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。

教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称.若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.若函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=（3）翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x )解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.图2—33.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x 解 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x4.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴 直线x =0 解： 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x的图象关于点(1，－1)_对称.解： y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是 （ D ）(2).（2009·郑州模拟）定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 则函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).已知函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的（ C ）例2. 作出下列函数的图象.（1）.f (x )＝x 2－2|x |＋1 （2）f (x )＝x 2－2|x |＋1（3）f (x )＝|x 2－1|（4）f (x )＝ x 2＋2x ＋1 （5）y=112--x x ; （6）y=)21(|x|. （7）（2）y=|log 21（1-x ）|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.（1）定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}. 【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.（2）已知函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称. ④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. 【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)的单调区间； （4）求函数的值域. （1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2; 当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象. 扩展：y ＝a x ＋ bx（a ＞0，b ＞0）的图像.例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；（2）若函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. （1）证明 设P （x 0,y 0）是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］ =f(x 0)=y 0.即),-(200y x m P '在y=f(x)图象上，∴y=f （x ）的图象关于直线x=m 对称.（2）解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a （2-x ）-1|=|a （2+x ）-1|恒成立， 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.（2008·全国Ⅱ理，3）函数f(x)=x1-x 的图象关于 坐标原点对称2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x；（2）y=112+-x x . （3）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112 （5－x ） 1＜x ≤34－x x ＞33.已知f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 则f(x-1)的图象是4.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ A ）6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )7.使log 2(-x)＜x+1成立的x 的取值范围是 . 答案 （-1，0）8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在（0，21）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 答案 (1,2］ 10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有__2__个12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_12x =-__。