（三）势的叠加原理
势的叠加原理：在无限平面地层中同时存在任意个点 源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇） 引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在 时在该点产生势的代数合。
q1
n井同时工作时，地层中有 任意点M，则各井在M点产生 的势为：
q2
q3 r3 rn
r1
r2
qn
q1 1 ln r1 C1 2
2a ln Rw
Q
kh( pi p p )
2a ln Rw
二、等产量两汇
在无限大地层中存在等产量的两汇，相距2a。
1、势及流场
r2
v2 M v v1 r1
由叠加原理地层中任意点的 势为；
B
a a
A
1 q (q ln r1 q ln r2 ) C ln r1 r1 C 2 2
n井同时生产：
v M v1 v2 v3 ... vn

第六节 势的叠加原理的典型应用
一、等产量的一源一汇
设在无限大地层中有等产量的一源一汇，相距2a
势的叠加原理，地层中任 意点的势为：
r1
v1 C q
A
v
B
a
a （1）
r1 1 q (q ln r1 q ln r2 ) C ln C 2 2 r2
将（１）式代入有：
2 2 2 2 2 0 2 x y z
（３）
满足Laplace方程的函数为线性函数，线性 函数可进行叠加。
1、平面上一点的势
设平面上有一点汇，在距离点汇r圆周处 的流量为：
dp d Q 2rh 2rh dr dr k
令
Q q h
3、井产量
任意点取在生产井壁：
q w ln 2a Rw C 2
任意点取在供给边缘：
则产量公式：
q 2 e ln Re C 2
2kh( pe p w ) Q Re2 ln 2aRw
2 ( e w ) q Re2 ln 2aRw
（5）
第七节 考虑边界效应的镜像反映法
3、以知生产井和注入井势时的产量公式
由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：
q 2a i ln C 2 Rw
上两式相减有：
Rw q p ln C 2 2a
q 2a 2 q 2a i p ln( ) ln 2 Rw Rw
q
( i p )

由达西公式：
k dp v dx
令 则


k

p
（１）
d v dx
“Ф “就定义为势，常称速度势。 势具有压力的含义，对（１）微分有：
d
k

dp
（２）
在稳定渗流场中，压力分布满足Laplace，即：
p p p 2 2 0 2 x y z
2 2 2
2kh( p e p w ) Q Re ln Rw
[5]
2、球面向心流产量公式：
整个渗流过程可看成 两部分构成： （1）从Re到某一半径R 的平面径向流，则： h
R
Ф
2h( e w ) Q Re ln R
Re Q ln R e 2h
[1]
（2）从R到Rw的球面向心流。又半球内任意点 势为：
Q C 2r
则
Q 1 1 w ( ) 2 Rw R
因1/Rw远大于1/R，不考虑1/R相，则： Q w [2] 2Rw
[1]=[2]得：
2h( e w ) Q Re h ln R Rw
[3]
流动很快从球面流转为平面流，常取R=1.5h。
由（1）式知，r1/r2为常数时，势相等，则等势线方程为：
r1 C0 r2
r12 ( x a ) 2 y 2
（2）
当C0=1时，r1=r2，即y轴是一条等势线。
又
代入（2）整理得： 配方得：
r22 ( x a ) 2 y 2
2 1 C 2 0 x 2 y 2 2a x a 0 2 1 C0
（1）
由（1）式，r1r2相等时，势相等，则等势线方程为；
r1r2 C0
r12 ( x a ) 2 y 2
因
（2）
r22 ( x a ) 2 y 2
代入（2）式配方得：
( x y ) 2( y x )a a C 0（3）
2 2 2 2 2 2 4 2 0
第五节 势的叠加和多井干扰理论 第五节 势的叠加和多井干扰理论
一、多井同时生产时的物理现象
井间干扰：同一油层内同时有两口井以上油井
生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要
影响到其他井，这种现象称井间干扰。 井间干扰特征：地层中压力场发生重新分布。
Q
Q
-Q
M2 M4 M3
Q M1
M1
M3 M2
M4
y轴具有分流性质，也叫分流线。把两侧的液流分开，
使液体不能穿过分流线而流动。
2、渗流速度分析
在地层中任一点N处，A、 B两井单独工作时的速度分 别为：
B N A
qA vA 2r1
qB vB 2r2
两井同时工作时，N点速度为两速度矢量合。 在x轴上，N点速度为：
qA qB v v A vB 2r1 2r2
q2 2 ln r2 C2 2
q3 3 ln r3 C3 2
qn n ln rn Cn 2
n井同时生产在M点产生的势由叠加原理表示为：
M 1 2 3 ...... n
M q3 qn q1 q2 ln r1 ln r2 ln r3 ...... ln rn C 2 2 2 2
2、空间一点的势
设空间有一点汇，则距点汇r半径球面上的 渗流速度为：
Q v 4r 2
又
d v dr
则
Q d 2 dr 4r
Q C 4r
空间一点汇势为： 空间点源势为：
Q C 4r
（二）势理论在渗流力学中的应用
1、用势理论求平面径向流产量公式
平面径向流点汇的势为：
由此，在供给边缘附近（a，0）处存在一口生产井时， 可设想成以直线供给边缘（选作y轴）为镜面，在其对称位 置（-a，0）出反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟 井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的 生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。 这种用一个“异号像”的作用来代替直线供给边缘 的方法，叫汇源反映法。
（3）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同 的等势线。
Y轴为分流线
等产量两汇时的渗流场
同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型 流线族方程：
x 2 y 2 2C1 xy a 2 0
给C1不同的值得不同的流线。
（4）
当C1等于无穷大时，（4）式可转化为x轴和y轴方程， 则y轴x轴均为流线。
若N为平衡点，即v=0时： qA=qB时，r1=r2
q A r1 q B r2
即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点， 该点液体流动速度为零，称死油点，平衡点附近形成 死油区。 平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，
且总偏向产量小的井。
通过改变两井产量比例，可使平衡点向产量小的井 移动，以采出死油区内原油。
q ln r C 2
r=Re时， Ф = Ф e； r=Rw时， Ф = Ф w； 则：
[1]
q e ln Re c 2
q w ln Rw c 2
[2]
[3]
[2]-[3]有：
2 ( e w ) q Re ln Rw
p
[4]

k

代入：
2k ( pe p w ) q Re ln Rw
2kh( pe p w ) Q Re2 ln 2aRw
总结
1、边界对渗流场和井产量的影响可看成 以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井 “像”的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场 与边界对井影响形成的渗流场完全相同。
2 2 2 1 C0 4 a C0 2 2 (x a) y 2 2 2 1 C0 (1 C0 )
（3）
（3）是圆心在x轴的圆族方程，圆心为（ 半径为2aC0/（1-C02），即等势线为一系列圆。
1 C02 a,0 1 C02
），
由等势线与流线的正交关系，可求出流线的方程为：
v2 q 1 aq v 2a 2 a r1 2r2 r1 r1r2
v2 v 2a r1
（5）
稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由 （5）式知，v与r1r2的乘积成反比，在x轴上r1r2最小， 液体质点沿x轴运动速度最快，称x轴为主流线。
在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井 井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井 中，形成舌进现象。 水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗 流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井 底，使水驱效率变差。 这是注水开发采收率低的重要原因。
则
q d 2r dr
分离变量得平面上一点的势为：
q ln r C 2
（4）
• q：单位厚度的产量（产液强度）
• r：地层中任意点到井的距离； • Ф ：距井半径r处地层中的势； •C：常数，与边界条件有关。 对注水井，q为负值，则点源的势为：
q ln r C 2
（5）
1、利用等势线和等压线确定渗流速度
求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗 流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。 大小可由下式计算： 1 2 k p1 p 2 v1 v L L