2
ln
re r
re

rw
re
r
2
rw
2
d ln
re r
)]
P
2
2
re rw
[ 2
r r
2 e
2 w
2
Pe
Pe Pwf ln re rw
(
rw
2
2
ln
re rw

1 4
(re rw ))]
2 2
rw
由于：rw re 所以：re r re ,
2 2 w 2
2
re
2
r
re
Pwf r 1
Pe

积分：
P
dp
Pwf
2h
q
q
1
r
rw
Kr
r rw
dr
P 1
P Pwf
r1 r re 区间内压力分布规律为：
2K1h
re
ln
渗透率突变的圆形地层
积分： P P e

Pe
dp
P
2h r Kr
q
1
q 2K 2 h
dr
q 2h
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
二、平面径向渗流
1. 数学模型
d P dr
2 2
re
0
h

1 dP r dr
2rw
Pe
Pwf
KLeabharlann PePr rw
Pwf （井底处）
P
r re
Pe （供给边界）
HX-CHENG
平面径向渗流模型
11
2012-10-23
2. 求解数学模型
基本渗流微分方 程变形为：
t
r r
h
q
(r r )
2 0 2
质点扫过的孔隙体积 q
对单向流：
t
A
q
x
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
三、球面径向渗流
▲数学模型
2rw
2 dP r dr
d P dr
2
2

0
Pwf
re
Pe
P
r rw
Pwf
球面径向渗流模型
P
2012-10-23
r re
Pe
P c1 x c2
c1 Pe PBi L
c2 Pe
积分常数为：
PBi c1 L c2
P Pe Pe PBi L Pe PBi L

c2 Pe
x ( L x)
或：
P PBi
单向渗流压力 分布公式
渗流速度： v
K dP
K Pe PBi
ln
r rw
3. 结果分析
P
●压力分布公式表
明：压力与坐标 r 呈对 数关系，从整个地层看
Pe
，地层各点压力分布是
此对数曲线绕井轴旋转 构成的曲面，此曲面形 似漏斗，习惯称为“压 降漏斗”。
P
Pwf
o
re r 平面径向流压力分布曲线
r
●
dP
dr r 度大，压力梯度大，能量损耗也越大；
●平面径向流的渗流场图，
ln
（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：
r(m）
渗流速度(cm / s）
0.1 0.3
100 0.00003
10000 0.0000003
压力梯度( MPa / m）
0.87
0.00087
0.0000087
例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型 如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。
一、单向渗流（平面单向流）
1. 数学模型
d P dx
2 2
供给边界
Pe
0
K
排液道
PBi
h
B
P
x 0
P （供给边界） e
（排液道） PBi
L
P
2012-10-23
xL
单向渗流模型
A Bh x
HX-CHENG
6
2. 求解数学模型
渗流微分 方程积分 代入边界条件
dP dx
c1
再分离变 量积分
Pe P Pe Pwf ln ln re r re rw
ln
re
r
rw
则计算结果如表所示：
r (米）
Pe P Pe Pwf
0.1 1
1 0.8
10 0.6
100 0.4
1000 0.2
10000 0
从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近 。
P f1 ( x, y, z, t ) v f 2 ( x, y, z, t )
刚性水压驱动；
忽略油水性质的差别。
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
▲典型解：指三种简化的典型渗流方式下的解。 单向流 渗 流 方 式
平面径向流 球面径向流
2012-10-23
HX-CHENG
5
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
rw
( Pe
Pe Pwf ln re rw
ln
re r
)rdr
P
2 re r
2 2 w
( Pe rdr
rw
re
Pe Pwf ln re rw
( r

2
re
r ln
re r
dr )
rw
P
2 re r
2 2 w
[
r r
2 e
2 w
2
Pe
Pe Pwf ln re rw
v o
力为：
x
。
KBh
x
♂解析式、渗流场图
4. 单向渗流的渗流场图（水动力场图）
◆ 渗流场图：由一组等压线和
y
一组流线按一定规则构成的图形。
◆等压线：渗流场中压力相同
等压线 流线
点的连线。
o
◆等压面：渗流场中压力相同
L 单向渗流渗流场图
x
的空间点组成的面。 ⊙规则：各相邻两条等压线间 的压差值相等；各相邻两条流线间 通过的流量相等。
0
上式简化整理得：
1 Pe Pwf P Pe re 2 ln rw
对单向流：
P
Pe PBi 2
5. 液体质点移动规律 在现场实际中，有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地 需要的时间。
由渗流速度：
v u dr dt q 2rh
o
r0
M
分离变量积分 (0, r0 ) (t , r ) ：
PdA P
A
re
dr
2
其中：
A (re rw )
2
Pwf
P r
Pe
dA 2rdr
P Pe Pe Pwf ln re rw ln re r
A、dA
面积加权平均示意图
P
2 Pr dr
rw 2 (r 2 rw )
e
re
P
2 re r
2 2 w

re
＊降阶法求解
＊直接积分法
1 d r dr
(r
dP dr
)0
积分 再积分
r
dP dr
c1
P c1 ln r c2 ①
c1 Pe Pwf ln re rw
代入边界条件得：
Pe c1 ln re c2 ② ②-③
Pwf c1 ln rw c2 ③
P Pe
②-①或①-③并代 入边界条件 c1
HX-CHENG 23
▲压力分布： P Pe
Pe Pwf rw re
1
(r 1
1
re )
1
▲产量公式： q
2K ( Pe Pwf )
(rw re )
1
1
▲研究空间一点： q
4K ( Pe Pwf )
(rw re )
1
1
例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充 足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：
ln
ln
re r
产量为：

(
Pe
dp
Pwf
[
r1
1 K1r
rw
dr
re
1 K2r
dr ]
r1
积分： q
2K 2 h( Pe Pwf ) K2 K1 ln r1 rw re r1 )
★降低原油粘度 可提高产量，如热力采油等；
★供给半径 re 和油井半径 rw 均在对数内，其变化对产量
q 影响较小。
②实际应用时，产量公式中各物理量可如下确定：
★ Pwf 可以实测； ★ P 用目前地层压力代替； e
2a
L A
★
re 一般根据实际井网形状
确定，如图所示则： →泄油面积： A 2aL →将 A 换算成等值的圆面积：
平面径向流 产量公式 （裘比公式）
q 2Kh( Pe Pwf ) re rw
产量公式： q Av 2rh v
Pe Pwf ln re rw q 2Kh
ln

又由产量公式变形：
q 2Kh
代入压力分布公式得：