学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，V enn图，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A?B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.(1)∅⊆A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.类型一 集合的概念及表示法 例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } ★答案☆ B解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有M ?N ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1上点的纵坐标，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. ★答案☆ {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}． 类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a ＝2，即a ＝13，或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(只需填写序号)①若集合A＝∅，则∅⊆A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.★答案☆③解析∅是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正确；若A⊆B，则a≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}★答案☆ B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁U B＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为________．★答案☆{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．★答案☆②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy ＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x≤1}的子集，如果b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13B.23C.112D.512 ★答案☆ C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1， 可得M ＝{x |0≤x ≤34}，N ＝{x |23≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}∩{x |23≤x ≤1}＝{x |23≤x ≤34}，此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是(34＋13)－1＝112.1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个★答案☆ B2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N *；③{－5}⊆Z . A ．0B ．1C ．2D ．3 ★答案☆ C解析①③正确．3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合(∁U A)∩B等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0<x≤2}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2}★答案☆ C解析先求出∁U A＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得(∁U A)∩B＝{x|0≤x<2}．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e} D．{a，c}★答案☆ A5．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是()A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．P∩Q＝∅★答案☆ D1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时作业一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于() A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅★答案☆ D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M ∩N＝∅，故选D.2．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．{0,1,2}★答案☆ B解析∵∁U B＝{x∈R|x<3}，∴A∩(∁U B)＝{1,2}．3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}★答案☆ D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1B．0C．1D．1或－1★答案☆ A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7★答案☆ A解析因为A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3. 二、填空题6．已知全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则a＝________.★答案☆－2解析由题意，得a2－a＋1＝7，即a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{7,4}，不合题意，舍去，故a＝－2.7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∪(∁U B)＝________.★答案☆{1,4}解析 ∵∁U B ＝{x |x <2，或x >3}， ∴A ∩(∁U B )＝{1,4}．8．设集合A ＝{1，－1，a }，B ＝{1，a }，A ∩B ＝B ，则a ＝______. ★答案☆ 0解析 ∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.9．集合A ＝{n |n2∈Z }，B ＝{m |m ＋12∈Z }，则A ∩B ＝________.★答案☆ ∅解析 A 为偶数集，B 为奇数集，故A ∩B ＝∅.10．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．★答案☆ {a |－12≤a ≤2或a >3}解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅可得， ⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a >3}．三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解 结合图形可得M ＝{(x ，y )|xy ≥0，－2≤x ≤52，－1≤y ≤32}．12．已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值集合． 解 (1)显然A ∩B ＝{x |3≤x <6}．又B ＝{x |2<x <9}，∴∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}．(2)∵C ⊆B ，如图所示，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴a 的取值集合为{a |2≤a ≤8}．13．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B ?A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1. 四、探究与拓展14．定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C －(A －B )可表示下列图中阴影部分的为( )★答案☆ A解析 如图所示，A －B 表示图中阴影部分，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分，故选A.15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ∈Z 时，A ＝{x |－2≤x ≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m <2； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥m ＋1，2m －1<－2，或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1>5，解得m >4. 综上可得，实数m 的取值范围是m <2或m >4.。