高等数学空间解析几何
练习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数___线性运算
[内容要点]:
1. 向量的概念.
2. 向量的线性运算.
3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.
[本部分习题]
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---
2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标.
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离.
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →
在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→
的模、方向余弦和方向角.
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →
→
→
==-=--求234a b c →→→
-+及其单位向量.
7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →
→
→
→→
→
→
→→
→
→
→
=++=--=--求向量43l a b c →→→→
=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.
第二部分 向量代数___向量的“积”
[内容要点]:
1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题]
1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→
=--=-求：
（1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→
→
→
→→
→
→
⋅⨯
2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →
→
→
=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →
→
→
→
→
→
→
→
→
⨯⋅⨯⨯⨯⨯
3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.
4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →
→
=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→
+与z 轴垂直；
（2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→
+取最大值。
5．已知||3,||36,||72,a b a b →
→
→
→
==⨯=求a b →→
⋅。
6．判断向量,,a b c →→→
是否共面。
(1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →
→
→
===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →
→
→
=-==-
(3){1,1,2},{2,4,5},{3,9,8};a b c →→→
=-==
第三部分 空间解析几何
[内容要点]:
1. 平面方程和直线方程，平面与直线的位置关系。
2. 空间曲线及其方程和在坐标平面上的投影及其方程。
3. 曲面方程的概念，旋转曲面、柱面、二次曲面的方程及其图形。
[本部分习题]
1．求满足下列条件的平面方程：
（1） 过点A （1，-2，3）且与向径OA →
垂直； （2） 过点（3，1，-2）且与平面2x+y-7z+10=0平行； （3） 过点（1，0，2）且平行于向量{1,1,2},{2,1,0};a b →
→
=-= （4） 过点（1，1-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）； （5） 过点（1，2，-1）和y 轴；
（6） 过点（2，0，1）和点（5，1，3）且平行于z 轴； （7） 过点（1，1，1）和点（0，1，-1）且与平面x+y+z=0相垂
直
2．求平面2x-2y+z+5=0与平面x+3y-2z+7=0的夹角的余弦。
3．求两平行平面10Ax By Cz D +++=与20Ax By Cz D +++=之间的距离。
4．求下列直线的方程：
（1） 过点（-2，3，1）且平行于直线
12
321
x y z -+==
； （2） 过点（1，1，5）且垂直于平面2y-z=0； （3） 过点（1，2，-3）和（2，1，4）；
（4） 过点（0，2，4）与两平面x+2z-1=0和y-3z-2=0平行； （5） 过点（0，1，2）且与直线
11112
x y z --==垂直相交。
5．写出下列直线的对称式及参数方程：
0(1)0x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩ 50
(2)384360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩
6．判断下列直线1L 和2L 的相互位置，并求夹角的余弦：
123122(1):
,:;234112x y z x y z L L +-+-==+= 121112
(2):,:;112134
x y z x y z L L +-+-==+=
7．求下列投影点的坐标：
（1） 点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影点； （2） 点（2，3，1）在直线
722
123
x y z +++==
上的投影点。
8．求直线210
3210x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩在平面30x y z ++-=上的投影直线方程。
9．求两直线250240x y y z ++=⎧⎨--=⎩与0
240y x z =⎧⎨++=⎩的公垂线的方程。
10． 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形
（1）21x y += （2）221x y += （3）221x y -= （4）212x y +=
11．写出下列曲线绕指定轴旋转而成的旋转曲面的方程：
（1）yOz 面上的抛物线22z y =绕y 轴旋转； （2）xOy 面上的双曲线22236x y -=绕x 轴旋转； （3）xOz 面上的直线210x z -+=绕z 轴旋转。
12．指出下列方程所表示的曲面哪些是旋转曲面，这些旋转曲面是如何形成的？
（1）221x y z ++= （2）221x y z ++=
（3）2
2
214
y x z -+= （4）22221x y z z --+-=
13．指出下列方程表示的曲线：
（1）222(1)(4)2510x y z y ⎧-++++⎨+=⎩ （2）222
432
x y z z ⎧-=⎨=⎩
14．将曲线2229
1x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程，并求其在xOy 平面上的投影方
程。
15．求准线为222222
41
x y z x y z
⎧++=⎪⎨=+⎪⎩母线平行于z 轴的柱面方程。
[重点、难点、考点]:
本章要求熟悉向量的概念及其运算和空间直角坐标系以及
一些特殊曲面的方程及其图形。
【总习题】
1．在边长为1的立方体中，设OM 为对角线，OA 为棱，求OA →在OM →
上的
投影。
2．设|||1,6
a b a b π
→
→
→
→
==与的夹角=，计算：
（1）a b →→+与a b →→
-之间的夹角；
（2）以2a b →→+与3a b →→
-为邻边的平行四边形的面积。
3．设,a b →→
为非零向量，且||1,b →
=a b →→
与的夹角=
3π，求0||||lim x a x b a x
→→→
→+-。
4． 已知点A （-1，0，0）和B （0，3，2），试在z 轴上求一点C ，使
ABC ∆的面积最小。
5． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成
4
π
角的平面方程。
6． 设一平面过原点及点（1，-1，0）到直线230
30
y x x z -+=⎧⎨--=⎩的垂线，求此平
面的方程。
7． 设一直线过点（2，-1，2）且与两条直线1111
:,101
x y z L ---==和 2213
:
,111
x y z L --+==-同时相交，求此直线的方程。
8． 求直线(0)x b bc b y z c =⎧⎪
≠⎨=⎪⎩
绕z 轴旋转所得旋转面的方程，它表示什么曲
面？ 9． 10．
证明直线10x y x z -=⎧⎨+=⎩与11x y z +=⎧⎨=-⎩
相交，并求出交点的坐标。