1 r
rur
r
1 r
u

uz
z

'
0
同理，可得球坐标连续性方程

1 r2
(rur )
r

1
r sin
(u sin )

1
r sin

(
u )
0
运动方程
通过微分动量衡算，可以导出流体的运 动方程。运动方程与连续性方程结合起 来，可以处理许多流体流动问题。同时 运动方程在动量、热量与质量传递过程 中也是求解大量有实际意义问题的基础 方程。本节在推导运动方程时采用拉格 朗日观点。
连续性方程的推导
单组份系统：
y
(x,y,z)
（输出的质量流率）—（输入的质量流率）
＋累积的质量速率＝0
dy
在x左侧面：
输入微元体积的质量流率 uxdydz
z
输出微元体积的质量流率
dy
ρux

(ux

(ux
x
)
dx)dydz
dz
dz dx
x
ux

(ux
x
)
dx
dy
dz
连续性方程的推导
θ （r,Φ,θ）
y θ
y Φ
x
x
公式回顾：
sV s V s V
s


1 h1

s q1
,
1 h2

s q2
,
1 h3

s q3

V
1 h1h2h3

V1h2h3
q1


V2h3h1
q2

V3h2h1
) ux

x
uy

y
uz

z


0
由于密度ρ是空间（x，y，z）和时间θ的连续函数，
即ρ＝f(x,y,z,θ），那么ρ的随体导数
D D




x
ux


y
uy


z
uz
于是 D ( (ux ) (uy ) (uz ) ) 即
面上的法向应力与切线 应力都是相应地大小相
yx(下）
dx
dz

zx

zx z
dz(后）
等、方向相反的。故只
x
需采用9个机械应力就可 以完全表达：3个法向分
z
量，6个切线分量。
现将上图中的流体微元在x—y
平面的一个相应的平面分离出
来加以考察。环绕该平面四周 所作用的4个剪应力，可表示 在右图中。由图可见，假如有
q3


连续性方程式为：
u 0
u u u


r
1 1

rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


1 r


z
1 1

z


r

r


1 r



z

z
u


rur

u
x
y
z

(ux ) (uy ) (uz ) 0
x
y
z
写成向量形式 (u) 0
连续性方程的进一步分析
将连续性方程 (u) 0 展开，得到

( ux
x

u y y

uz z
用应力表示的运动方程
任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体
的运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可
理解为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的
诸外力向量之和，即
F
d (Mu)
d
式中 F——诸外力向量之和
M——流体的质量；
u——流体的速度向量
θ——时间。
v D D

D D
u
1 Dv u
v D
上式的左侧
表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右
侧是速度向量的散度
几种特殊情况下连续方程简化
稳态流动，密度不随时间变化，即
0
( ux ) ( u y ) ( uz )
(

) 0
体积力
令fB表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐
标x，y，z方向上的分量分别为X，Y和Z，则
根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质
量力为


dFB dFBxi dFBy j dFBzk fBdxdydz
写成坐标分量形式为
表面力
y
单位面积上的表面力定义为表面应力
或机械应力，表面应力亦可分解为法
u r

uz

z

1
r
ur r r

ur
r

r


1 r


u

u



uz z
uz

z

1 rur 1 u uz r r r z
于是柱坐标连续性方程为
u z r z

1 urr 1 u uz
r r r z
u urr u uz r r r z
u u u


r
ur r r


r
u


uz z
ur

r
到另一点时所发生的变化。； 的物理意义为：
当流体质点在dθ时间内由空间的一点（x, y, z)
移动到另一点（x+dx, y+dy, z+dz)时，流体密度ρ
随时间的变化率。
由于 v 1
将上式对时间求随体导数，亦即
Dv 0 D
Dv v D 0 D D
1 Dv 1 D 0

zuz
r

r


1 r


z

z
ur

r
u r

uz

z


u

1
1 r
1

ur
r r
1

u 11


uz
1 z
r


1 urr r r

u


y

yx

yx y
dy 2
一根平行于z轴的轴线或z轴本
身穿过该流体微元的形心O点 时，显然，出于上述这四个剪
xy

xy x
D
x y z
为连续性方程的另一表达形式。
D u D
随体导数 的意义
D D


ux

x
uy

y
uz

z
局部导数： 间的变化；
表示ρ在空间的一个固定点处随时
对流导数：( x
ux


y
uy


z
uz )
表示密度由一点移动
即
x
y
z

上式可简化为：(ux ) (u y ) (uz ) 0
x
y
z
u 0
对于不可压缩流体，ρ＝常数，则无论稳态还是非稳态：
ux u y uz 0 x y z
• u 0
上式为不可压缩流体的连续性方程。
全导数的表达式可由对t进行全微分得到
随体导数：观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体
中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温
度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随
空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者 记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度t随时间θ 的变化称为随体导数(Substantial derivatives)亦称拉格 朗日导数(Largrangian derivatives)，以Dt/Dθ表示。
小微元流体在运动时，由于法向应力
和剪应力的存在，使其发生形变。
τxx
x
六个表面，每一表面的
机械应力均可分解成三
个平行于x、y、z三个坐
y
标轴的应力分量3×6=18

yx

yx y
dy(上）
个在x、y、z方向上各有
六个。当小微元体体积
zx (前）

xx

xx x
dx(右）
缩小为一点时，相对表 xx(左）dy
向应力和剪应力，一般记为τ。
τxy
τxy 第一个下标表示应力分量的作用面
与x轴垂直。第二个下标x、y、z表示
应力方向为 x轴、y轴和z轴方向。 τxx 表示法向 应力分量。拉伸方向（向外）
τxz
为正，压缩方向（向内）为负。这三
个表面应力分量中．一个是法向应力
z
分量τxx另外两个是剪应力分量τxy和τxz。
由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流 场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图2－3所示，考察 该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。
设在某一时刻θ，此微元系统的体积为dv＝dxdydz(注意其体积
和位置是随时间改变的)，将牛顿第二定律应用于此微元系统得